E=mc² Biographie D'une Equation

théories des cordes

cours et exercices de thermodynamique 2

1. Introduction
La thermodynamique est la science qui étudie et décrit le comportement de la matière ou des systèmes, en fonction des notions de température T, d'énergie (chaleur Q, travail W...) et d'entropie S. La thermodynamique :
étudie l'évolution ou les transformations de la matière ou des systèmes en considérant les variations d'état du système, lors d' échanges d'énergie entre le milieu extérieur et le système.
repose sur 2 notions de base, l'énergie interne (U) et l'entropie (S) qui satisfont aux deux principes suivants, qui stipulent que :
l'énergie se conserve (premier principe de conservation de l'énergie)
l'entropie ne peut qu'augmenter (deuxième principe d'évolution)
L'objet de la thermodynamique est d'étudier le fonctionnement et le bilan d'énergie des machines thermiques et aussi les échanges ou transferts de chaleur dans un système ou entre deux systèmes.
dans les machines thermiques on assiste à une conversion d'énergie d'une forme en une autre (chaleur -> travail ou inversement)
dans les échanges de chaleur, il y a transfert de chaleur par suite d'une différence de température dans le système ou entre deux systèmes
ex1 : dans les machines thermo-dynamiques (TD), il y production de travail par conversion de chaleur en travail (les moteurs thermiques, les centrales thermiques ou nucléaires...)
ex2 : dans les machines dynamo-thermiques (DT) par contre, il y a transfert de chaleur d'une source froide à une source chaude grâce à un apport de travail (les machines frigo. et pompes à chaleur, les liquéfacteurs...)
On distingue entre quatre principaux mécanismes de transfert de chaleur : la conduction, la convection, le rayonnement et les changements d'état de la matière. Les applications de ces transferts de chaleur concernent les domaines :
de l'isolation thermique et du stockage des gaz liquéfiés (cryogénie)
du chauffage et de la climatisation des locaux
de la conception et du choix des échangeurs de chaleur
On peut décrire la thermodynamique de 2 manières ou aspects différents :
l'aspect macroscopique : on s'intéresse aux propriétés de la matière ou du système à l'échelle globale ou macroscopique, alors les propriétés sont décrites par des variables d'état macroscopiques telles ( p, V, T, m...)
l'aspect microscopique : on s'intéresse aux propriétés de la matière à l'échelle microscopique ou atomique en utilisant comme variables les grandeurs cinétiques des atomes ou molécules individuelles (pi ,vi ,Ei ...)
Selon que l'on considère l'un ou l'autre de ces aspects, on distingue alors entre la Thermodynamique Classique ou la Thermodynamique Statistique.
La Thermodynamique Classique n'a besoin d'aucune hypothèse sur la structure atomique de la matière, elle explique le comportement de la matière ou des systèmes en fonction de leurs variations d'énergie et d'entropie :
elle décrit uniquement les états initiaux et finaux des systèmes en évolution et dresse le bilan énergétique du système
le chemin suivi par la transformation du système peut jouer un rôle (notion de réversibilité des transformations)
elle ne cherche pas à élucider les mécanismes des transformations
La Thermodynamique Statistique par contre, cherche à expliquer l'origine et la signification des variables macroscopiques (p,T) et des notions de chaleur, de travail et d'entropie, en les reliant directement au mécanisme de l'agitation moléculaire. Ainsi, on explique les notions de température, de pression et de chaleur :
Notion de température : la température est reliée au degré d'agitation moléculaire de la matière.
Si la vitesse vi des molécules et donc leur énergie cinétique Ei augmentent, alors le degré d'agitation thermique du milieu est plus grand. A la température de 0 K (zéro absolu à -273°C) les atomes ou molécules sont figés.
Fig. 1.1 : Gaz dans une enceinte
- les molécules se déplacent dans l'enceinte de façon totalement aléatoire avec des vitesses vi
On définit la température T par la relation :
1/2 mv2 = 3/2 kT
1.1)
Cette relation définit l'échelle de température absolue T en degré K.
Notion de pression : la pression est due aux nombreux chocs des atomes ou molécules sur les parois du récipient.
Fig. 1.2 : Pression dans une enceinte
- dans l'enceinte il y a N molécules en agitation permanente soit, n' = N/V le nombre de molécules par unité de volume.
On définit la pression par la relation :
p = 1/3 n'mv2
1.2)
Echanges d'énergie
Les échanges d'énergie sous forme de chaleur (Q) ou de travail (W) sont alors interprétés à l'échelle microscopique comme une manifestation de l'agitation moléculaire sous forme désordonnée (Q)ou ordonnée (W), voir Fig. 1.3 et 1.4.
T2 > T1Fig. 1.3 : Transfert de chaleur Q
Fig. 1.4 : Transfert de travail W par un piston
Unités :
- Système MKS (ou SI )
temps en [s]
température en degré [K], avec T [K] = t °C + 273
pression en Pascal [Pa] ou [N/m2]p = [Pa] = [N/m2] et 1bar = 105 Pa = 750 Torr
l'énergie en Joule [J], et 1cal = 4,184 Joules
la puissance P en Watt [W], et 1W = 1J/s
- Système des Thermiciens (ou ST )
temps en [h]
énergie en [kcal]
puissance en [kcal/h]
Autres Unités
- de pression :
1 atm = 1,013 bar = 760 Torr
1 Torr = 1,333 mbar
1 bar = 750 Torr
1 mbar = 100 Pa = 0,750 Torr
1 atù = 1 kg/cm2 = 0,980 bar
* on distingue entre pressions absolue et relative ou pressions totale et partielle d'un fluide
- d'énergie
la frigorie [fg] avec 1 fg = 1kcal
le kWh 1kWh = 3,6 MJ = 860 kcal
1kcal = 1,16 Wh
Dans les pays anglo-saxons on utilise des unités différentes : ainsi, l'énergie est exprimée en BTU et la température en degré Fahrenheit [F], avec :
et 1 BTU =
t(°C) = 5/9t(F) - 32
Exercices : Unités et Grandeurs Thermiques
1) Quelle est la différence entre les notions de température et de chaleur, expliquer
2) Exprimer la température de 40 °C en degrés Fahrenheit et Kelvin
3) Exprimer la kcal/h en Watt et inversement
4) A partir de la relation de définition de la température :
a) vérifier par l'équation aux dimensions la cohérence des unités, sachant que la constante de Boltzmann s'exprime en : k = 1,3810-23 [J/K]
b) évaluer la vitesse des molécules des gaz diatomiques et monoatomiques suivants (azote et hélium) de masses molaires respectives : MN = 14 g et MHe = 2g (NA = 6.1023 molécules par mole de gaz)
c) A partir de ces valeurs, que peut-on en déduire sur la capacité des différents gaz à diffuser
d) Expliquer pourquoi un ballon rempli d'hélium reste au départ au plafond dans un appartement, mais qu'après un jour il retombe au niveau du sol
5) On définit l'enthalpie H d'un système par H = U + pV, où U est l'énergie interne exprimée en joule.
Montrer que l'enthalpie H est aussi une énergie.
Différentier l'enthalpie H
Exprimer alors cette différentielle dH, sachant que dU = dQ - pdV
Donner l'expression de dH à p = cste. Conclusion
Exprimer dU à V = cste . Conclusion
6) Dans un cylindre de V = 1 m3, muni d'un piston mobile, se trouve 2 kg d'air à la température de 20°C
Calculer le volume massique et la masse volumique (densité)
Le volume reste fixé à V = 1 m3, mais par influence extérieure la température monte à 100°C
Evaluer le volume massique et la masse volumique
Quelle grandeur change alors. Expliquer
7) Un manomètre métallique à spirale indique une pression de 5,8 bar. La pression atmosphérique mesurée par un baromètre est de 752 mmHg ou torr. Quelle est la pression absolue en bar.
Rép. Pabs = 6,802 bar
2. Système thermodynamique et état d'équilibre
2.1 Définition du système
Pour décrire thermodynamiquement un système, il faut à la fois :
définir le système en délimitant ses frontières par rapport au milieu extérieur
déterminer l'état du système défini par ses variables
Le système est défini comme une partie de matière (de masse donnée) délimitée par rapport au milieu extérieur (Fig. 2.1). Le milieu extérieur est le reste de l'espace entourant le système.
le système
milieu extérieur
Fig. 2.1 : Délimitation du système
Le système peut être ouvert ou fermé, adiabatique c.à.d isolé thermiquement (Q = 0) ou rigide c.à.d indéformable (W = 0)

Système
Echange Matière
Echange Energie
isolé
non
non
fermé
non
oui
ouvert
oui
oui
Tableau 2.1 : Echange de masse et d'énergie entre le système et le milieu extérieur
Dans un sytème fermé, il n'y a pas de transfert de masse et dans un sytème isolé, il n'y a pas d'échange de travail ni de chaleur.
Fig. 2.2 : Différents types de systèmes
Exemples de Systèmes Thermodynamiques
2.2 Etat du système
L'état du système est défini ou décrit par ses variables macroscopiques (m, p, V, T, n...) dites aussi variables d'état. A un sytème donné est associé tout un ensemble d'états possibles.
On dit qu'un système est à l'état d'équilibre thermodynamique, si ces variables d'état ont des valeurs bien définies et constantes. On distingue alors selon le cas entre :
variables ou grandeurs thermiques (p, V, T) ou calorifiques (U, H, W, Q, S)
variables extensives c.à.d proportionnelles à la quantité de matière telles (m, V, U...) ou variables intensives c.à.d indépendantes de la masse telles (p, T, concentration...)On définit souvent des grandeurs massiques c.à.d rapportées à l'unité de masse du système, telles :
le volume massique : v = V/m en [m3/kg]
l'énergie interne ou l'enthalpie massique : u = U/m ou h = H/m en [J/kg]
Ces grandeurs sont reliées entre elles par des relations, exemple :
m = rV ou qm = rqv (pour les débits masiques et volumiques)
avec qm = rwS où w est la vitesse de l'écoulement du fluide
et pour un écoulement stationnaire : r1w1S1 = r2w2S2 (équation de continuité)
2.3 Evolution ou transformation du système
Sous l'influence d'échanges ou transferts d'énergie entre le système et le milieu extérieur, le système évolue et les variables d'état du sytème sont modifiés. On dit que le système se transforme ou change d'état, en passant d'un état d'équilibre (1) à un autre état d'équilibre (2).
Fig. 2.3 : Transformation du système par échange d'énergie (apport de chaleur Q)
Au cours d'une transformation les variables d'état du système varient, pour atteindre un autre état d'équilibre. Le passage de l'état d'équilibre (1) à l'état d'équilibre (2) se déroule généralement hors équilibre.
On distingue alors entre (voir Fig. 2.4) :
transformations réversibles (ou idéales ) : ce sont des transformations infiniment lentes formées d'une succession d'états d'équilibre
transformations irréversibles : ce sont des transformations rapides et brutales hors équilibre
La réversibilité d'une transformation exige que le système passe par une infinité d'états intermédiaires différents peu d'états d'équilibre (états quasi-statiques). Les transformations naturelles spontanées sont irréversibles : elles ne peuvent évoluées que dans un seul sens (ex. la détente d'un gaz des HP vers BP, l'écoulement de la chaleur des HT vers BT... ).
Fig. 2.4 : Transformations a) réversibles et b) irréversibles
2.4 Equations d'état du système et fonction d'état
Les variables d'état ne sont pas toutes indépendantes, mais liées entre elles par des équations, qui sont dites équations d'état du type : f(p,V,T) = 0.
ex. : l'équation d'état des gaz parfaits : pV = nRT
* ici, il n'y a que deux variables indépendantes d'où, p = f(V,T) ou V = f(p,T) ou T = f(p,V)
Représentation graphique des évolutions du système
Les variations d'état du système à la suite d'une transformation sont représentées dans divers diagrammes, permettant ainsi de suivre l'évolution du système. On utilise ainsi, les diagrammes suivants : les diagrammes de Clapeyron (p,V)ou d'Amagat (pV, p), les diagramme entropique (T,S) et de Mollier (p,H), le diagramme (H,S).
Fig. 2.5 : Les diagrammes de Clapeyron (p,V) et d'Amagat du gaz parfait
Fig. 2.6 : Les diagrammes entropique (T,S) et enthalpique (p,H) des gaz réels
* On distingue entre différentes transformations qui sont facilement représentées dans ces diagrammes précédents (par des droites verticales ou horizontales), à savoir :
la transformation isochore (V = cte)
la transformation isobare (p = cte)
la transformation isotherme (T = cte) satisfaisant à : pV = cte
la transformation isentrope (S = cte) ou (Q = 0) régit par : pVg = cte
la transformation polytrope satisfaisant à : pVn = cte avec 1 < f12 =" F2" g =" at" name="c3">3. Les Echanges d'énergie : travail, chaleur, énergie interne
Le premier principe
Le but de la thermodynamique est d'étudier les propriétés des systèmes et leurs évolutions en fonction des échanges d'énergie avec le milieu extérieur. Un système peut échanger de la masse et de l'énergie avec le milieu extérieur, alors son état change par gain ou perte de masse ou d'énergie. On dit que le système subit une transformation qui entraîne une variation des variables d'état.
Chaque système a un certain contenu en énergie sous diverses formes, telles :
l'énergie mécanique (cinétique ou potentielle)
l'énergie chimique dégagée sous forme de chaleur lors des réactions chimiques
l'énergie nucléaire (E = mc2) résultant d'une variation de la masse du noyau
Dans la pratique, les énergies nucléaire et chimique n'interviennent pas, car la masse du système ne varie pas dans les transformations courantes.
3.1 Energie interne U
L'énergie interne d'un système ou d'un corps est le contenu en énergie de ce système. Chaque système (solide, liquide ou gazeux) est une collection d'objets tels des atomes, molécules...Ces particules sont toujours animées de mouvements incessants et aléatoires (agitation moléculaire) : vibrations dans les solides ou agitation thermique dans les liquides ou gaz.
A ces mouvements microscopiques des molécules est associée de l'énergie cinétique Ec . De plus, entre ces atomes ou molécules peuvent exister des forces d'interaction (attraction et répulsion) auxquelles on associe une énergie potentielle Ep .
A l'échelle microscopique, l'énergie interne U du système est définie comme la somme des énergies cinétiques Eci et potentielles Epi de toutes les particules formant le système.
ex1 : le gaz parfait est caractérisé par l'absence d'interactions entre les molécules (Ep = 0)
alors U = S i 1/2 mvi2 = N.1/2 mv2
soit, U = 3/2 NkT
3.1)
où N est le nombre de molécules dans l'enceinte
ex2 : le gaz réel est caractérisé lui par l'existence d'interactions entre les molécules (alors Ep # 0)
d'où, U = S i Eci + S Epi_
3.2)
Propriétés de l'énergie interne U
A l'équilibre thermique, l'énergie interne U :
est une énergie exprimée en joule [J] ou [kcal]
elle a une valeur bien définie connue à une constante près (non connue dans l'absolu)
c'est une fonction d'état
L'énergie interne U caractérise le contenu ou niveau énergétique du système thermodynamique. L'énergie interne U d'un système peut varier par suite d'échanges d'énergie avec le milieu extérieur. Les énergies sont principalement échangées sous forme de chaleur (Q) et de travail (W).
3.2 La chaleur Q
La chaleur est une forme spéciale de l'énergie :
c'est une énergie exprimée en joule [J] ou [kcal]
à l'échelle microscopique, c'est une énergie échangée sous forme désordonnée par agitation moléculaire (c.à.d par chocs entre les molécules en mouvement)
elle s'écoule toujours d'une source chaude vers une source froide
la chaleur n'est pas une fonction d'état
Fig. 3.1 : Transfert de chaleur Q par l'agitation moléculaire (en enlevant la cloison adiabatique)
On distingue entre deux types de chaleur :
a) La chaleur sensible
elle est liée à une variation de température D T du système par suite d'un réchauffement ou d'un refroidissement
elle est proportionnelle à la masse de matière et à la différence de température
d'où, pour une transformation infinitésimale :
dQ = mcdT
3.3)
où, c désigne la chaleur massique du matériau ou fluide exprimée en [Jkg-1K-1]
Transformation finie
La chaleur Q échangée lors d'une transformation finie entre l'état 1 et l'état 2 s'obtient en intégrant la relation 3.3 valable pour une transformation infinitésimale. On distingue alors plusieurs cas selon la valeur de c :
Q = ò mcdT
la chaleur massique reste constante (c = cte)
alors, Q12 = ò 12 mcdT = mcò 12dT = mc(T2 - T1)
soit, Q12 = mcD T = mc (T2 - T1) = mc(t2 - t1)
3.4)
la chaleur massique varie, valeur moyenne c =
c varie dans l'intervalle [T1,T2], on prend alors une valeur moyenne pour c =
Q = m(T2 -T1)
3.5)
où, la valeur moyenne,
3.6)
car, Q12 = Q02 - Q01
=> la valeur moyenne est calculée à partir de Tables donnant
la chaleur massique est une fonction de T : c = f(T) = a0 + aT + bT2
d'où,
On distingue généralement entre chaleurs massiques à pression constante ou volume constant, notée cp ou cv :
pour les solides ou liquides, on a : cp ~ cv = c
mais pour les gaz : cp # cv et cp/cv = g
b) La chaleur latente
La chaleur latente est la chaleur nécessaire à 1 kg de matière pour changer d'état à température constante, elle est définie par :
Q = mL
3.7)
où, L est la chaleur massique associée à un changement d'état, cette chaleur est soit libérée (V-> L) ou absorbée (L-> V).On distingue entre chaleurs latentes de fusion, de vaporisation, de sublimation etc...
*Remarque : Les changements d'état sont mis à profit dans les Machines Thermiques car ils libèrent d'importantes quantités de chaleur : ceci permet de réduire sensiblement la taille des échangeurs et des compresseurs (économie de matière et d'énergie).
c) Loi des mélanges
Par contact ou mélange de deux corps à des températures différentes, il y a transfert de chaleur : à l'équilibre thermique les deux corps ont alors même température et T = Tm (température finale du mélange).
La température du mélange Tm s'obtient à partir du bilan d'énergie des deux systèmes ou corps.
Qam + Qbm = Qp où, Qp sont les pertes de chaleur du système non adiabate.
Si le système est adiabate (Qp = 0), alors on a :
maca(Tm-Ta) + mbcb(Tm-Tb) = 0
3.3 Le travail W
Le travail est une autre forme de l'énergie (énergie mécanique) :
c'est une énergie exprimée en [J] ou [kcal]
à l'échelle microscopique c'est une énergie échangée de façon ordonnée (grâce au déplacement du piston qui imprime une certaine direction aux atomes)
ce n'est pas une fonction d'état
On distingue entre travail volumétrique, travail technique et travail fe frottement.
Travail volumétrique Wv
Le travail résulte le plus souvent d'une variation de volume du système déformable (non rigide) : ex. le déplacement d'un piston. On parle alors de travail volumétrique définit par :
Fig. 3.2 : Transfert de travail
p = F/S
dWv = Fdx = pS dx = pdV en [Nm] ou [J]
d'où, le travail élémentaire : dWv = - pdV
3.8)
*Remarque :
le signe moins (-) est imposé par la convention de signe des énergies
si le piston se déplace vers la droite alors dV augmente (dV>0) et le travail est cédé ou fournie au milieu extérieur (donc le travail est <0) p =" cte)" w12 =" -pò" dv =" -p[V2" t =" cte)" w12 =" -" pv =" nRT" w12 =" -" v =" -nRT" w12 =" nRTlnV1/V2" v =" cte)" dv =" 0" w12 =" 0" dwt =" Vdp" wt =" ò" dp =" 0)" wt12 =" 0" v =" cte)" wt12 =" V(p2" wg =" Wv+"> 0 et affectées du signe +
les énergies (W,Q) cédées par le système sont comptées < name="c34">3.4 Le premier principe
Le premier principe dit aussi principe de conservation de l'énergie, stipule que :
l'énergie du système se conserve au cours des transformations du système (c.à.d ne se dégrade pas)
l'énergie du système est seulement transformée d'une forme d'énergie en une autre (équivalence des formes d'énergie)
L'énergie d'un système isolé reste constante, U = cte.
L'énergie d'un système non isolé peut varier par suite d'échanges d'énergie (Q,W) avec le milieu extérieur, alors le système évolue d'un état 1 à un état 2 : on dit qu'il subit une transformation.
D'après le premier principe :
la variation d'énergie interne du système au cours d'une transformation est égale à la somme algébrique des énergies échangées W + Q
l'énergie interne su système varie donc pendant la transformation de
D U = U2 - U1 = W + Q
Fig. 3.3 : Variation de l'énergie interne du système
Enoncé du premier principe
" La somme algébrique du travail W et de la chaleur Q échangés par le système avec le milieu extérieur est égale à la variation D U de son énergie interne ".
cette variation est indépendante de la nature des transformations, c.à.d du chemin suivi par cette transformation
cette variation ne dépend que de l'état intial 1 et de l'état final 2
En d'autres termes, l'énergie interne est une fonction d'état, c.à.d. que sa variation ne dépend pas du chemin suivi par la transformation. En effet, considérons deux transformations entre l'état 1 et l'état 2 formant un cycle, selon le chemin suivi x ou y, on a :
Fig. 3.4 : Variation de U au cours d'un cycle
U2 - U1 = W12 + Q12 chemin xU1 - U2 = W21 + Q21 chemin y
soit, W12 + Q12 = W21 + Q21 = cte
On a ainsi démontré que la somme W + Q égale à D U ne dépend pas du chemin suivi et donc la fonction U est une fonction d'état (alors que W et Q pris individuellement ne sont pas des fonctions d'état).
Expression mathématique du premier principe
L'expression mathématique du premier principe est donc :
pour un système fermé
si la transformation est finie : D U = U2 - U1 = W + Q
3.12)
si la transformation est élémentaire : dU = dW + dQ
3.13)
pour un système ouvert
c.à.d pour un système avec écoulement de fluide, il faut alors ajouter en plus la variation d'énergie cinétique EC du fluide, d'où :
D U + D EC = W + Q
3.14)
Les équations 3.12 à 3.14 sont d'une importance capitale en thermodynamique, car ils permettent de :
dresser le bilan d'énergie du système (machines thermiques, enceinte...)
éfinir le rendement ou le coefficient de performance de ces machines
3.5 Enthalpie H
L'enthalpie est définie par la relation :
H = U + pV
3.15)
c'est une énergie exprimée en [J] ou [kcal]
c'est aussi une fonction d'état comme l'énergie interne U
On a vu que pour une transformation infinitésimale que : dU = dW + dQ
soit, dU = dQ - pdV
3.16)
or, dH = dU + d(pV) = dU + pdV + Vdp
soit, dH = dQ + Vdp
3.17)
Conséquences
- pour une transformation isochore (V = cte) : dU = dQ (car dV = 0)
d'où, D U = D Q = mcvD T
3.18)
et cv = (dU/dT)v
3.19)
- pour une transformation isobare (p = cte) : dH = dQ (car dp = 0)
d'où, D H = D Q = mcpD T
3.20)
et cp = (dH/dT)
3.21)
pour les transformations isochores, on utilisera donc la fonction énergie interne soit U = f(V,T) et les relations 3.18 et 3.19.
pour les transformations isobares, on utilisera par contre la fonction enthalpie, soit H = f(p,T) et les relations 3.20 et 3.21.
Autres Relations : les coefficients calorimétriques
On utilise souvent les relations suivantes :

dQ = cvdT + ldV ou dQ = cpdT + hdp
3.22)
d'où, dU = (l - p)dV + cvdT
dH = (h + V)dp + cpdT
où, l et h sont dits les coefficients calorimétriques
On montre que :
l = (cp - cv)(dT/dV)p
3.23)
h = - (cp- cv)(dT/dp)V
3.24)
On pose également :
dQ = l dp + m dV
avec, l = cp(dT/dp)V
3.25)
m = cV(dT/dV)p
3.26)
CONCLUSION : Premier principe et généralisation
Systèmes fermés :
D U = Wv12 + Q12
où, Wv = - ò pdV est le travail volumétrique
- s'il y a frottement : D U = Wv12 + Wf12 + Q12
où, Wf est le travail de frottement
Systèmes ouverts stationnaires :
pour ces systèmes, il y a conservation de la masse : qm1 = qm2
soit, r 1S1w1 = r 2S2w2
- si, D Ec = D Ep = 0
D U= Wt12 + p1V1 - p2V2 + Q12 = Wg12 + Q12
avec, Wg12 = Wt12 + p1V1 - p2V2
- si, D Ec et D Ep ¹ 0
D H = Wt12 + Q12 - 1/2m(w22-w12) - mg(z2-z1)
où Wt = ò Vdp est le travail technique et D Ec et D Ep les variations des énergies cinétique et potentielle du fluide en écoulement
Exercices : Travail, chaleur, énergie interne
Systèmes Fermés
Ex1 : Dans un cylindre adiabatique de 500 l se trouve un gaz dont la pression est maintenue à 2 bar par un piston lesté d'une masse adéquate. On fournit à ce gaz un travail de frottement Wf12 égal à 0,2 kWh, cecii entraîne une élévation de la température du système de 18° à 600 °C. La pression atmosphérique est de 0,98 bar.
a) Evaluer le travail volumétrique du piston, expliquer son signe
b) Comment varie l'énergie interne du système
c) Quel est le travail de déplacement du piston contre l'atmosphère extérieure
d) Quel est le travail utile du piston
Rép :
a) Wv12 = - 200 kJ
b) U2 -U1 = + 520 kJ
c) Wd12 = - 98 kJ
d) Wu12 = - 102 kJ
Ex2 : A une enceinte adiabate remplie de gaz on prélève de façon réversible un travail volumétrique de 1,5 MJ.
a) De quelle valeur diminue l'énergie interne du système
b) Quel travail de frottement faudrait-il fournir à l'enceinte pour annuler cette variation de l'énergie interne
Rép : a) D U = -1,5 MJ b) Wf = + 1,5 MJ
Ex3 : Le cylindre de l'exercice 1 n'est plus adiabate et on fournit au gaz contenu dans ce cylindre un travail de frottement égal à 0,2 kWh. La moité de ce travail de frottement sert à augmenter l'énergie interne de ce système avec pour résultat d'augmenter la température du gaz de 18° à 309 °C.
a) Quel est alors le travail volumétrique échangé, expliquer son signe
b) Evaluer la chaleur dissipée
Rép : a) Wv12 = - 100 kJ b) Q12 = - 260 kJ, (comparer avec ex1)
Ex4 : Calculer l'expression du travail volumétrique pour une transformation isotherme d'un gaz supposé parfait en fonction des volumes ou des pressions initiale et finale du système.
Ex5 : Calculer la chaleur massique moyenne d'un corps dans l'intervalle de température [T1, T2], sachant que la chaleur Q12 nécessaire pour élever la température de T1 à T2 est égale à la différence des quantités de chaleur Q02 et Q01 nécessaires pour faire passer la température de 0 à T degré.
Systèmes Ouverts
Ex1 : Dans une machine adiabate arrive 10 m3 d'air à 5 bar. Cet air effectue dans la machine un travail interne de 6,47 MJ et sort alors à 1bar et avec un volume de 31,5 m3. On négligera la variation des énergies cinétique et potentielle de l'air dans la machine.
a) Comment varient l'énergie interne et l'enthalpie de l'air pendant son écoulement
Rép : a) D U = - 4,62 MJ et D H = - 6,4 MJ
Ex2 : Dans un compresseur à parois non adiabates, on comprime de l'air par apport de travail interne égal à 10 MJ. L'enthalpie de l'air ne change pendant ce processus de compression.
a) Quelle quantité de chaleur est fournie ou cédée au système pendant cette compression
Rép : a) Q12 = - 10 MJ, expliquer le signe
Transfert de chaleur
Ex1 : On réchauffe 500 kg d'aluminium de 300 °C à 500 °C par apport de chaleur. Quelle quantité de chaleur faut-il fournir
a) On évaluera la chaleur massique moyenne de l'aluminium dans l'intervalle de température à partir des chaleurs massiques tabulées en f(T)
b) Calculer Q12
Rép : a) cm(t1,t2) = 1,049 KJ/kgK b) Q12 = 104,9 MJ
Ex2 : Dans un échangeur de chaleur on refoidit de l'air à pression constante de 100° à 20 °C. On néglige les pertes par frottement dans l'échangeur. La chaleur massique moyenne de l'air est 1,013 kJ/kgK.
a) Quelle est la chaleur retirée à l'air
b) Comment varie l'enthalpie de l'air
Rép : a) Q12 = - 8,1 MJ b) H2 - H1 = - 8,1 MJ
Ex3 : Une pièce d'acier de 120 kg de chaleur massique moyenne ca = 0,58 kJ/kgK est plongée dans un bain d'huile de 550 kg afin de la durcir : alors la température du bain d'huile passe de 22° à 65 °C. La chaleur massique moyenne de l'huile est cb = 1,7 KJ/kgK. On considère le système comme adiabate.
a) Quelle est la température initiale de la pièce d'acier
Rép : a) ta = 643 °C
Tableau de valeurs
LES GAZ PARFAITS ET REELS
4.1. Le gaz parfait
Le gaz parfait est un gaz idéal :
il correspond à un gaz dilué c.à.d un gaz à pression réduite
c'est un ensemble de N atomes ou molécules identiques sans interaction entre eux et soumis à une agitation perpétuelle et aléatoire (dite agitation moléculaire ou thermique)
Fig. 4.1 : Modèle du gaz parfait
les molécules se déplacent dans toutes les directions
l'énergie cinétique d'une molécule est 1/2 mvi2
Hypothèses du gaz parfait (Théorie cinétique des gaz)
les atomes ou molécules du gaz sont assimilés à des masses ponctuelles
les molécules sont sans interaction entre elles (énergie potentielle Ep = 0)
la pression est due aux nombreux chocs des molécules sur les parois de l'enceinte
4.1.1 La pression du gaz
La pression du gaz résulte des chocs élastiques des molécules sur les parois de l'enceinte. Soit N le nombre total de molécules dans l'enceinte (N ~ 1023 molécules/m3).
Fig. 4.2 : Chocs des molécules sur la paroi
- le choc étant élastique, on a :Fdt = mdv
soit, Fxdt = 2mvx (en projetant sur l'axe x)or, p = F/S
Les molécules frappant la surface S de la paroi pendant le temps dt sont comprises dans un cylindre de base S et de hauteur vxd : or statistiquement seulement la moitié de ces molécules se dirige vers la paroi :
- le nombre de molécules frappant la paroi est donc égal à : 1/2 n0Svxdt (où n0 = N/V)donc, p = F/S = 1/2 n0Svxdt.2mvx/Sdt = n0mvx2
- or la répartition des vitesses dans l'enceinte est isotrope, on a : vx2 = vy2 = vz2 = 1/3 v2 soit, p = 1/3 n0mv2
4.1)
où v2 est la vitesse quadratique moyenne des molécules définit par :
= 1/N å i vi2
On calcule cette vitesse à partir de la loi de distribution des vitesses de Maxwell (voir exo).
4.1.2 La température absolue du gaz
D'après la théorie cinétique des gaz, la température absolue T est un paramètre qui caractérise l'état thermique du gaz, c.à.d à son degré d'agitation thermique par la relation :
1/2 mv2 = 3/2 kT
4.2)
où k est la constante de Boltzmann
Si le degré d'agitation est élevé (c.à.d v grand), alors la température et aussi la pression du gaz sont élevées. La relation 4.2 définit la température absolue en degré Kelvin [K].
4.1.3 Equation d'état du gaz parfait
La pression p définit par la relation 4.1 peut s'écrire en y introduisant la relation 4.2 :
p = Nmv2/3V = NkT/V
soit, pV = NkT = nNAkT
d'où, pV = nRT
4.3)
en posant, n = N/NA et R = kNA
où, n est le nombre de moles, NA est le nombre d'Avogadro et R est la constante universelle des gaz
La relation 4.3 est l'équation bien connue des gaz parfaits. Comme le nombre de moles est donné par :
n = N/NA = m/M
la loi des gaz parfait peut aussi s'écrire :
- pour une masse m de gaz : pV = mrT
4.4)
avec, r = R/M désignant la constante individuelle de chaque gaz
Unités
Dans le système international SI ou MKS, les grandeurs de l'expression 4.3 ou 4.4 s'expriment dans les unités suivantes :
p = [Pa] ou [N/m2]
V = [m3] et T = [K]
R = 8,314 [J/Kmol]
avec la constante de Boltzmann : k = R/NA = 1,38.10-23 J/Ket le nombre d'Avogadro : NA = 6,023.1023 molécules/mole
Autres lois des gaz parfaits.
Loi de Mariotte : à T = cte : p1V1=p2V2
Lois de Gay Lussac et Charles :
à V = cte :
à p = cte :
4.1.4 Energie interne du gaz parfait
L'énergie interne U est la somme des énergies cinétiques (car Ep = 0) des N molécules constituant le gaz, soit :
U = å i 1/2 mvi2 = 1/2 Nmv2
en y introduisant la relation 4.2, on obtient finalement :- pour un gaz monoatomique : U = 3/2 nRT
4.5)
Loi de Joule
Pour un gaz parfait :
l'énergie interne (et aussi l'enthalpie) ne dépend que de T c.à.d, U = f(T) et H = f(T) sont uniquement fonction de T
les variations D U et D H pour une transformation isotherme (T = cte) sont nullesD U = 0 et D H = 0
Conséquences
Gaz monoatomique (Ar,He,Ne,..) :
U = 3/2 nRT et H = U + pV = 5/2 nRT
soit, cv = dU/dT = 3/2 nR et cp = dH/dT = 5/2 nR
Gaz diatomique (H2, N2,.O2 ,..) : U = 5/2nRT et H=7/2nRT
soit, cv = 5/2nR et cp = 7/2nR
car, il faut ajouter alors aux 3 degrés de liberté de translation des atomes (3x1/2RT), une rotation de la molécule autour de son axe (RT)
4.1.5 Lois des mélanges de gaz
Un mélange de gaz est formé de différents gaz (ni, Mi) occupant le même volume V : à l'équilibre thermique ces différents gaz sont à la même température T. On définit alors pour chaque gaz une pression partielle pi telle que la pression totale p du gaz soit :
la loi de Dalton : p = å i pi
4.6)
soit, pV = NkT = (N1 + N2 + ....)kT = p1V + p2V + ....
d'où, pi = niRT/V
4.7)
et on a aussi, pi = ni / å i ni
4.1.6 Diagrammes des gaz parfaits
Deux diagrammes sont principalement utilisés pour réprésenter l'état d'un gaz : les diagrammes de Clapeyron (p,V) et d'Amagat (pV,V).
Pour un gaz parfait, les isothermes sont des hyperboles d'équation pV = nRT, voir Fig. 4.3.
Fig. 4.3 : Diagramme de Clapeyron du gaz parfait
L'avantage du diagramme d'Amagat (Fig. 4.4) est qu'il met bien en évidence les écarts d'un gaz réel par rapport au gaz parfait, surtout aux hautes pressions.
Fig. 4.4 : Diagramme d'Amagat du gaz parfait
4.2. Les gaz réels
Les gaz réels ont un comportement très différent des gaz parfaits. Si la pression augmente la loi des gaz réels s'écarte de celle des gaz parfaits, surtout aux hautes pressions (quelques atmosphères). Les gaz réels sont :
décrits par des lois différentes et plus complexes
liquéfiables à une température inférieure à la température critique Tc fonction du gaz
Dans un gaz réel, la distance entre les molécules est grande et donc l'énergie potentielle d'interaction est faible et l'énergie interne se présente alors essentiellement sous forme d'énergie cinétique d'agitation thermique. Dans un gaz parfait, ces distances sont très grandes par rapport aux dimensions de ces molécules (supposées ponctuelles) et l'énergie potentielle est nulle.
On distingue alors entre gaz parfait et semi-parfait, satisfaisant à l'equation pV = nRT, mais :
pour un gaz parfait les chaleurs massiques sont constantes, l'énergie interne et l'enthalpie ne sont fonction que de T, ces fonctions sont linéaires en T
pour un gaz semi-parfait les chaleurs massiques sont fonction de la température, l'énergie interne et l'enthalpie sont des fonctions biunivoques de T
4.2.1 Diagrammes du gaz réel
Si on trace expérimentalement les isothermes des gaz réels dans un diagramme de Clapeyron, on obtient la Fig. 4.5 : les allures de ces isothermes sont très différentes de celles du gaz parfait (Fig. 4.3).
Fig. 4.5 : Isothermes d'un fluide réel
On constate alors que ces isothermes expérimentales ne ressemblent à celles du gaz parfait que pour les faibles pressions et à grand volume (cas du gaz dilué approchant le gaz parfait).
D'autre part si on comprime le gaz, le comportement va dépendre fortement de la température :
si T > Tc , au-dessus d'une certaine température Tc dite critique le fluide se comprime régulièrement en restant à l'état gazeux, mais la loi p = f(V) s'écarte sensiblement de celle du gaz parfait
si T < v =" VG" v =" VL" t =" Tc" x =" quantité" x =" MB" m =" A," x =" 1" m =" B," x =" 0" name="c22">4.2.2 Lois des gaz réels
Le comportement de quelques gaz réels est représenté dans un diagramme d'Amagat (Fig. 4.6), on y constate que :
- aux pressions élevées > 1 atm, les gaz réels s'écartent notablement du gaz parfait (courbe horizontale G.P.) - si la pression p ® 0, toutes les courbes convergent vers un seul point RT
Fig. 4.6 : Comportement de gaz réels
D'après l'allure rectiligne de ces courbes, on voit que les équations d'état de ces différents gaz suivent une loi linéaire, telle que :
pV = RT + B(T)p (avec n =1 mole)
4.9)
Cette loi de gaz n'est valable que dans un intervalle limitée de pression [0, 2 bar] et pour une température donnée de 300 K.
La Fig. 4.5 indique que l' équation d'état d'un gaz réel est bien plus compliquée que celle du gaz parfait. En fait, il n'existe aucune loi universelle permettant de décrire le comportement complexe de ces gaz en fonction de la température.
La question cruciale est d'expliquer cette différence de comportement par rapport au gaz parfait. Or, pour obtenir la loi simple des gaz parfaits, on a dû postuler un certain nombre d'hypothèses :
les molécules sont assimilées à des points ponctuels (sphères de rayons négligeables)
l'absence d'interactions entre les particules (énergie potentielle nulle) car leurs distances sont infiniment grandes par rapport à leur dimension
Ces hypothèses ne sont en fait valable qu'aux faibles pressions (p < vb =" Nb" p =" NkT" an2 =" a(N/V)2" p =" NkT" b =" Nb" a =" aN2" p =" RT/(V" t =" Tc" name="c23">4.2.3 Coefficients thermoélastiques des gaz.
Les coefficients thermoélastiques d'un gaz sont définis par les relations suivantes :
ils sont liés entre eux par les relations suivantes
où, a est le coefficient de dilatation, b est le coefficient de compressibilité et c le coefficient de compressibilité isotherme
Pour un gaz parfait, on a :
a = 1/T b = 1/T c = 1/p soit a = pb c
Pour un gaz réel, on utilise la formule de Van der Waals, p.ex :
Conclusion :
Les gaz réels ont la propriété très utile de pouvoir se liquéfier : les gaz liquéfiés sont utilisés dans de nombreuses applications (cryogénie, aimants supraconducteurs...).
Pour évaporer un liquide, il suffit simplement de chauffer le liquide
La liquéfaction d'un gaz est une opération plus complexe qui nécessite que sa température soit inférieure à sa température critique T < name="c24">4.2.4 Détente des fluides
Détente de Joule
Détente de Joule dans une enceinte adiabatique (Q = 0).
Si on ouvre l'orifice, le gaz se détend dans le vide.
il n'y a pas de travail au cours de la détente, (pas de partie mobile) W=0
il n'y a pas d'échange de chaleur Q=0
D U=W+Q=0 => l'énergie U est constante
-> On en déduit la première loi de Joule : détente adiabatique (T = cte, U = cte)
dU/dV = 0
-> Deuxième loi de Joule : détente adiabatique (T = cte, H = cte)
dH/dp = 0
Détente de Joule-Thomson (à enthalpie constante, H = cte).
Ecoulement des fluides dans des tubes adiabates. (Q = 0, enceinte adiabatique)
* On effectue un travail de transvasement Wtr ¹ 0 pour transférer le fluide de la région de pression p2 vers la région de pression p1 (p2 > p1). Imaginons deux pistons fictifs qui se déplacent dans l'enceinte isolée.
D U = W+Q (or, Q = 0)
soit, D U = U1-U2 = p2V2 - p1V1
Þ U2 + p2V2 = U1 + p1V1
Dans la détente Joule-Thomson : H2=H1 l'enthalpie est constante.
Cette détente de Joule-Thomson est utilisée pour refroidir les fluides dans les Machines frigorifiques et les Liquéfacteurs de gaz (détendeurs du type capillaire ou à pointeau)
Exercices : Gaz parfaits et réels
Gaz parfaits
Ex1 : La Théorie cinétique des gaz stipule :
une distribution isotrope des vitesses, c.à.d que les vitesses vi des molécules sont réparties suivant toutes les directions de l'espace
la distribution des vitesses suit une loi statistique de Gauss donnée par Maxwell,telle que : dP = aexp(-bvx2)dvx
où dP est la probabilité pour que la composante de la vitesse suivant l'axe x soit comprise entre vx et vx + dvx
Cette répartition statistique des vitesses permet alors de considérer séparément les trois degrés de liberté et de raisonner sur un seul degré de liberté.
On peut alors écrire que :
ò dP = a ò exp(-bvx2)dvx = a(p /b)1/2 = 1
La moyenne statistique de l'énergie cinétique d'une molécule suivant Ox est donnée par :
ò mvx2/2 dP =am/2 ò vx2exp(-bvx2)dvx = am/4b (p /b)1/2 = m` vx2/2
Maxwell a montré cette moyenne de l'énergie cinétique est proportionnelle à la température T :
m` vx2/2 = kT/2
d'où, a = (m/2p kT)1/2 et b = m/2kT
En admettant que toutes les molécules ont la même vitesse moyenne vxm , on a :
vxm2 = ` vx2 et vxm = (` vx2)1/2 et ` vx2 = 1/3` v2
où, ` v2 est la vitesse quadratique moyenne des molécules
On montre alors que : p = n0m` vx2 avec (n0 = N/V)
a) Calculer la pression et l'énergie cinétique du gaz en fonction de la vitesse quadratique moyenne b) Exprimer ces quantités en fonction de la température Tc) Montrer que pour un gaz parfait, la pression à volume constant et la température sont des fonctions proportionnelles à la moyenne de l'énergie cinétiqued) Calculer les chaleurs massiques du gaz parfait monoatomique et exprimer la différence des chaleurs massiques cp - cv e) Montrer que pour un gaz parfait, les chaleurs massiques sont constantes et que l'énergie interne et l'enthalpie sont des fonctions linéaires de T
Ex2 : Une bouteille d'hydrogène de volume 100 l contient à 20 °C un gaz comprimé sous 200 bar. Calculer le nombre de moles, la masse du gaz et sa pression à 500 °C. Faites un schéma de la bouteille de gaz.
Rép : a) n = 820 moles b) m = 1,64 kg c) 527 bar
Ex3 : Calculer le volume molaire d'un gaz parfait à 0 °C et sous la pression atmosphérique normale de 101. 325 Pa
Ex4 : Dans une enceinte de gaz sphérique de 20 m3 se trouve de l'azote à 45 bar et 590 °C. On ajoute en plus 10 kmoles d'azote et au cours de cette opération la température du gaz augmente à 70 °C. Ce processus se déroule très rapidement, de sorte qu'on peut considérer les parois de l'enceinte comme adiabatiques pendant ce remplissage. On considère la chaleur massique comme constante avec cv = 0,742 kJ/kgK.
a) Calculer la masse d'azote avant et après le remplissageb) Quelle est la pression juste après le remplissage c) Calculer la pression et l'énergie interne après le refroissement suivant le remplissaged) Quelle est la quantité de chaleur dégagée, expliquer son signee) Comment procède-t-on au remplissage d'enceinte
Ex5 : Dans une bouteille d'acier de 10 l se trouve de l'oxygène à 20 °C et sous 50 bar. Pour un essai de laboratoire on prélève de l'oxygène avec pour résultat que la pression chute à 40 bar à température constante. L'oxygène prélevé est détendu jusqu'à 1,04 bar puis échauffée à 60 °C.
a) Quelle masse d'oxygène est prélevéeb) Quel volume occupe l'oxygène prélevée à la fin
Rép : a) m = 0,131 kg b) 0,109 m3
Ex6 : Un compresseur suivi d'un refroidisseur à eau fournit 25 kg/h d'air comprimé à 28 °C dans une enceinte de stockage de 4 m3. Dans cette enceinte, l'air reste à 28 °C. Cette enceinte approvisionne un utilisateur qui a besoin d'air avec un débit de 5 m3/h à 20 °C et avec une surpression de 2bar par rapport à la pression atmosphérique de 1,01 bar. Le refroidissement de l'air de 28 °C à 20 °C se fait dans la canalisation de raccord.
Ce compresseur est enclenché ou déclenché en fonction de la pression régnant dans l'enceinte de stockage : la mise en marche du compresseur se fait à une surpression de 2,5 bar et l'arrêt du compresseur a lieu pour une surpression de 7 bar
a) Faites un schéma de cette installation d'air comprimé en y indiquant les donnéesb) Quel est le temps d'arrêt du compresseurc) Quelle est la durée de marche ou fonctionnement du compresseur
Rép : b) 1,17 h c) 2,95 h
Gaz Réels
Ex1 : Gaz van der Waals
On considère un gaz satisfaisant à l'équation van de Waals, p = RT/(V-B) - A/V2 :
a) Tracer deux isothermes, l'une à basse température et l'autre à haute tempéraure dans le diagramme de Clapeyron
b) Montrer qu'il existe une isotherme à point d'inflexion à tangent horizontale pour une certaine température Tc .En déduire les valeurs de la pression pc et du volume Vc ainsi que du rapport RTc/pcVc et le comparer aux valeurs expérimentales 1,1 du mercure et 4,35 pour l'eau.
Rép : b) Tc = 8A/27BR Vc = 3B et pc = A/27B2 RTc/pcVc = 8/3 = 2,67
Ex2 : On désigne par b et c les coefficents de dilatation et de compressibilité du gaz. Monter que pour toute substance :
(d b /d c )T = -(d c d c )pet b /c = (d p/d T)V
Ex3 : Les coefficients calorimétriques et thermoélastiques
Montrer que pour un gaz parfait on a :
a) a = b et a = pb c b) l= p et h = -Vc) cp - cv = nRd) dU/dT = 0 et dH/dT = O
Montrer que pour un gaz van der Waals (p + A/V2)(V - B) = RT :
a) a = 1/T(1 - B/V + 2A/pV2) et b = 1/T(1 + A/RTV)
en admettant que B << href="http://www-ipst.u-strasbg.fr/cours/thermodynamique/gaz-p.htm">
LES TRANSFORMATIONS REVERSIBLES
Les transformations réversibles d'un système sont des transformations idéales qui jouent un rôle important dans les processus thermodynamiques. On ne considère alors que des processus sans frottement c.à.d sans dissipation d'énergie, qui sont facilement calculables.
Le fonctionnement des machines thermiques est décrit par un cycle thermodynamique, formé de plusieurs transformations successives, qu'on suppose réversibles.
I. Systèmes Fermés
Dans les systèmes fermés, la masse de matière enfermée peut subir différentes transformations. On considère les différentes transformations simples et réversibles suivantes :
5.1 Transformation isochore (V = cte)
Soit un gaz supposé idéal et enfermé dans une enceinte rigide (non déformable dV = 0).
alors,
p1V1 = mrT1
p2V2 = mrT2
V = cte
dV = 0
Fig.5.1 : Transformation isochore
d'où,
5.1)
Travail :
on a, dW = -pdV => W12 = -ò 12 pdV
l'enceinte étant indéformable (dV = 0), W12 = 0
5.2)
Chaleur
on a, D U = W12 + Q12
soit, Q12 = U2 - U1 = mcv(T2 - T1)
Energie interne et enthalpie
on a, D U = Q12 + W12 (avec W12 = 0)
soit, l'énergie interne D U = Q12 = mcv(T2 - T1)
5.3)
et l'enthalpie, D H = H2 - H1 = mcp(T2 - T1)
5.4)
5.2 Transformation isobare (p = cte)
p1V1 = mrT1
p2V2 = mrT2
p = cte , dp = 0
Fig.5.2 : Transformation isobare
d'où, =>
5.5)
Travail
d'où, W12 = -p(V2 - V1) = mr(T1 - T2) = aire a12b
5.6)
Chaleur
on a, dH = dQ + Vdp (or dp = 0) => dQ = dH
Q12 = H2 - H1 = mcp(T2 - T1)
5.7)
Energie interne et enthalpie
on a, D U = Q12 + W12
et
D U = mcv(T2 - T1)D H = Q12 = mcp(T2-T1)
5.8)
5.3 Transformation isotherme (T = cte)
Fig. 5.3 : Transformation isotherme
p1V1 = mrT1
p2V2 = mrT2

soit => p1V1 = p2V2


5.9)
Travail
W12 = mrTlnp2/p1 = mrTlnV1/V2
5.10)
Chaleur
comme, T = cte et U = f(T) uniquement on a :
Q12 = - W12 = mrTlnp1/p2 (car D U = 0)
5.12)
Energie interne et enthalpie
on a, D U = 0 car, U = f(T)
d'où, D H = 0 car, H = f(T)
5.13)
5.4 Transformation isentrope Q = O (ou adiabatique réversible)
Fig. 5.4 : Transformation isentrope
or, dU = dQ + dW (et dQ = 0)
dQ = dU + pdV = mcvdT + pdV = 0
dQ = dH - Vdp = mcpdT - Vdp = 0
5.14)
soit,
=> mcvdT = - pdVmcpdT = +Vdp
En intégrant cette relation, on obtient l'équation bien connue d'un gaz subissant une transformation isentrope :
pVg = cte => ou p1V1g = p2V2g
5.15)
Relations (p,T) et (V,T) pour les grandeurs thermiques
On a les relations : pV = nRT et pVg = cte
5.16)
- pour le couple (p,T) :
5.17)
- pour le couple (V,T) :
5.18)
d'où les relations : T1V1g -1=T2V2g -1 et T1g p11-g = T2p21-g
5.19)
Travail
soit, W12 = mr(T2 - T1)/(g -1) = (p2V2 -p1V1)/(1-g )
5.20)
Chaleur
transformation adiabatique, Q12 =0
Energie interne et enhalpie
D U = mcv(T2 - T1)
5.21)
ou, D U = W12
et D H = mcp(T2 - T1) = g D U
pentes comparées des isotherme et isentropes
Fig. 5.5 : Courbes isotherme et isentrope
et g > 1
* la pente de l'isentrope est plus abrupte que celle de l'isotherme.
5.5 Transformation polytrope (avec échange de chaleur Q # 0)
La transformation polytrope s'approche davantage d'une transformation réelle, son équation d'état est :
pVn = cte
5.22)
avec, 1II. Systèmes Ouverts
La plupart des processus thermodynamiques sont réalisés dans des systèmes ouverts où un fluide (de débit massique qm) entre dans le système et le quitte. Le fluide dans ce système subit différentes transformations par suite d'échange d'énergie avec le milieu extérieur.
On ne considèrera que des processus stationnaires et réversibles en négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle du fluide (D Ec = D Ep = 0) dans le système. Le calcul des grandeurs thermiques et calorifiques dans ces systèmes ouverts est aussi effectué à partir des relations précédentes appliquées aux systèmes fermés : car ces grandeurs sont indépendantes de la nature des variations d'état du système.
Dans les systèmes ouverts, on distingue entre les processus d'écoulement et de travail (voir Fig. 5.8) :
dans les processus d'écoulement, il n'y a pas d'échange de travail (Wi12 = 0) : et pour les processus réversibles et à énergies cinétique et potentielle constantes, la pression est constante (dp = 0) et le travail technique : W12 = ò 12 Vdp = 0
=> pour ces processus, on ne détermine que les échanges de chaleur
Exemples de tels processus : les échangeurs et les tuyaux de transfert
dans les processus de travail, il y a en plus échange de travail technique (Wt12 ¹ 0) avec le milieu extérieur
=> pour ces processus réversibles, il suffit de déterminer le travail technique
Exemples de tels processus : les turbines, compresseurs et moteurs à pistons
Travail technique
Les formules suivantes ne sont valables que pour des énergies cinétique et potentielles constantes et un gaz idéal :
- transformation isochore
Wt12 = ò 12 Vdp = V(p2 - p1) = mr(T2 - T1)
5.27)
- transformation isobare
Wt12 = 0 (car dp = 0)
- transformation isotherme
Wt12 = ò 12 mrdp/p = mrTlnp2/p1 = Wv12
5.28)
- transformation isentrope
Wt12 = H2 -H1 = mcp(T2- T1)
5.29)
- transformation polytrope
Wtpol12 = n Wvpol12
5.30)
* Il apparaît que la transformation isotherme est la plus souhaitable, car :
pour une détente isotherme le travail technique est supérieur à celui d'une détente isentrope
par contre pour une compression, c'est l'inverse
Exercices : Transformations Réversibles du système
Systèmes Fermés
Ex1 : Enceinte fermée. Dans une enceinte sphérique de 20 m3 se trouve de l'azote sous une pression de 10 bar et à une température de 25 °C. On rajoute 10 kmoles d'azote avec pour résultat que la température monte à 70 °C. Ce processus se déroule rapidement de sorte qu'alors on peut considérer l'enceinte comme étant adiabatique. Ensuite, la température de l'enceinte chute de nouveau à 25 °C par cession de chaleur à l'environnement. On considérera la chaleur massique comme constante au cours des transformations et on prendra sa valeur à t = 0 °C.
a) Masse d'azote avant et après remplissageb) Pression juste après le remplissagec) Comment varie la pression et l'énergie interne après le refroidissementd) Quelle est la chaleur cédée à l'extérieur après le remplissage
Rép : a) m1 = 226 kg et m2 = 506 kg b) p2 = 25,8 bar c) p3 = 22,4 bar D U = - 16,895 kJ d) Q = - 16,895 kJ
Ex2 : Moteur Diesel. Dans le cylindre d'un moteur à combustion se trouve 1 g d'air à 45 bar et 590 °C. Au cours de la détente du gaz, on injecte du carburant qui brule en dégageant une énergie de 2 kJ : cette injection est réglée de manière à maintenir la pression constante dans le cylindre. On négligera la variation de masse et de composition du gaz, et on prendra pour la chaleur massique une valeur moyenne. Le processus est considéré comme réversible
a) Evaluer les grandeurs thermiques avant et après injectionb) Quel est le travail volumétrique du piston, expliquez son signec) Calculer les variations d'énergie interne et d'enthalpie
Rep : a) V1 = 55,1 cm3, T2 = 2508 K (2235 °C), V2 = 160 cm3 et p2 = 45 bar b) W12 = - 472 J c) D H = 2 kJ D U = 1,53 kJ
Ex3 : Dans un cylindre isotherme de 10 l, refroidi par une circulation d'eau, on comprime réversiblement à température constante de l'air à 1bar d'abord à 1l, puis à 0,1 l.
a) Quel est le travail volumétrique nécessaire à chacune de ces compressionsb) Quelle quantité de chaleur est chaque fois mise en jeuc) Comment varie la pression, l'énergie interne et l'enthalpie, expliquerd) Comment varie ces différents résultats si à la place de l'air on utilise de l'hydrogène
Rep : a) W12 = 2,3 kJ et W23 = 2,3 kJ b) Q12 = - 2,3 kJ et Q23 = -2,3 kJ c) p2 = 10 bar p3 = 100 bar et D U = D H = 0 , expliquer d) la nature du gaz ne change pas les données, expliquer
Ex4 : Dans un cylindre adiabate de 10 l, on comprime grâce à un piston de l'air au départ à 1 bar d'abord à 1 l puis à 0,1 l de façon réversible. On négligera la variation des chaleurs massiques avec la température, en prenant les valeurs à 0 °C.
a) Quel est le travail volumétrique à chaque compression b) Comment varie à chaque compression partielle les grandeurs thermiques et caloriques
Rép : a) W12 = 3,78 kJ et W23 = 9,49 kJ
b) p2 = 25,1 bar et m = 0,0121 kg, T2 = 723 K (450 °C)p3 = 630 bar, T3 = 1817 K (1544 °C)D U12 = 3,78 kJ et D H12 = 5,30 kJD U23 = 9,49 kJ et D H23 = 13,3 kJ
Ex5 : Dans le cylindre d'un moteur à combustion se trouve 1 g d'air sous 29,5 bar à 945 °C. Au cours de la détente du gaz, on injecte un carburant qui s'enflamme : ce processus réversible se fait selon une transformation polytrope de coefficient n = - 1 et la pression grimpe à 38,2 bar. On négligera les variations de masse et de composition, mais on tiendra compte de la variation des chaleurs massiques en fonction de la température, pour calculer cpm [T1, T2].
a) Déterminer les grandeurs thermiques avant et après l'injectionb) Evaluer le travail volumétrique du pistonc) Evaluer les variations d'énergie interne et l'enthalpied) Quelle est l'énergie apportée par la combustion du carburante) Représenter la transformation dans un diagramme (p,V)
Rép : a) V1 = 118,6 cm3 , T2 = 2040 K (1767 °C) , V2 = 153,6 cm3b) W12 = -118 J c) D H = 1003 J et D U = 767 J , expliquer les signesd) Q12 = 885 J , vérifier le bilan d'énergie du système
Ex6 : Une masse de 5 kg d'hélium se détend de façon polytrope et réversible dans un système fermé de 10 bar et 400 °C à 2 bar et 120 °C.
a) Quel est le coefficient n de cette détente polytropeb) Evaluer le travail volumétrique échangéc) Quelle quantité de chaleur est fournie ou cédéed) Comment varient l'énergie interne et l'enthalpie du système
Rép : a) n = 1,5 b) W12 = - 5,82 MJ c) Q12 = 1,41 MJd) D U = - 4,41 MJ et D H = - 7,34 MJ
Systèmes Ouverts
Ex7 : Dans un compresseur on comprime 10 l d'air initialement à 1 bar et 15 °C jusqu'à 10 bar et ensuite à 100 bar de façon réversible. Cette compression s'effectue soit :
1) à température constante2) dans un compresseur adiabate3) selon un processus polytrope avec n = 1,2
On négligera la dépendance en température des chaleurs massiques et aussi les variations d'énergies cinétique et potentielle du fluide.
On évaluera pour chacune des compressions partielles et dans les 3 cas 1) à 3) :
a) Le travail techniqueb) La quantité de chaleur fournie ou cédéec) Les variations d'énergie interne et de l'enthalpied) Représenter dans un diagramme les différentes transformations en y indiquant l'aire associée au travail technique
Rép : a) Transformation isotherme
1) Wtith12 = + 2,3 kJ et Wtith23 = + 1,41 kJ2) Qith12 = - 2,3 kJ et Qith 23 = - 2;3 kJ3) D U12 = 0 et D U23 = 0 et D H 12 = 0 et D H23 = 0
b) Transformation adiabate (isentrope)
1) Wtisen12 = + 3,26 kJ et Wtisen23 = + 6,32 kJ2) Qisen12 = 0 et Qisen23 = 03) D U12 = 2,33 kJ et D U 23 = 4,51 kJ et D H12 = 3,26 kJ et D H23 = 6,32 kJ
c) Transformation polytrope
1) Wtpol12 = + 2,80 kJ et Wtpol23 = + 4,12 kJ2) Qpol12 = - 1,165 kJ et Qpol23 = - 1,72 kJ3) D U12 = 1,165 kJ et D U23 = 1,72 kJ , D H12 = 1,635 kJ et D H23 = 2,40 k kJ
mise en page P. Trau - février 1999

DEUXIEME PRINCIPE - ENTROPIE
6. Le Deuxième Principe
6.1 Nécessité d'un deuxième principe
Le premier principe qui stipule la conservation de l'énergie permet de faire le bilan d'énergie des systèmes, sans imposer de conditions sur les types d'échanges possibles. Mais, ce bilan énergétique ne permet pas de prévoir le sens d'évolution des systèmes.
ex.: sens des réactions chimiques ou des transformations naturelles , ou le transfert spontané de la chaleur du chaud vers le froid
Le premier principe par son bilan n'exclut pas le transfert de la chaleur du froid vers le chaud (ce qui est impossible) et il n'explique pas l'irréversibilité de certaines transformations spontanées ou naturelles.
Il faut donc introduire un deuxième principe dit aussi principe d'évolution, déduit des faits expérimentaux, qui permettra de prévoir l'évolution des systèmes. Le deuxième principe introduit une nouvelle fonction d'état dite entropie S qui décrit le comportement des systèmes par la maximalisation de leur entropie:
l'entropie S d'un système croît si le système tend vers son équilibre :d'où D S > 0
l'entropie S est maximun si le système est à l'équilibre
6.2 Transformations Irréversibles
Certaines transformations naturelles sont irréversibles: elles n'évoluent que dans un seul sens.
-ex.1: la détente d'un gaz, caractérisée par:
Fig. 6.1: Détente irréversible d'un gaz
- l'écoulement brusque du gaz d'une HP -> BP- la détente est spontanée et irréversible
On remarque que:
l'état initial 1 (les deux gaz séparés par un cloison) est relativement ordonné, car presque toutes les molécules sont concentrées du côté HP: cet état est hautement instable
dans l'état final 2, en perçant un trou dans la cloison, un grand nombre de molécules passent du côté BP jusqu'à l'état d'équilibre caractérisé par une répartition homogène des molécules des deux côtés
Cet état final 2 est plus désordonné (mélange homogène) et surtout cet état est stable.
-ex.2: le transfert spontané de la chaleur, caractérisé par:
Fig. 6.2: Transfert de chaleur
- l'écoulement de la chaleur des HT -> BT- ce transfert est spontané et irréversible
dans l'état initial 1(cloison en place), les molécules les plus agitées (°) sont situées du côté gauche et les molécules moins agitées (.) du côté droit: ceci correspond à un certain ordre où les molécules (°) sont séparées des molécules (.): c'est un état hors-équilibre
dans l'état final 2 (cloison enlevée), les molécules plus chaudes (°) diffusent vers la gauche et communiquent par chocs une partie de leur énergie aux molécules plus froides (.), pour atteindre finalement un état d'équilibre où les deux régions sont à la même température
Dans cet état final d'équilibre, les molécules ont en moyenne même énergie cinétique et le système est caractérisé par un plus grand désordre.
-ex3: une roue de voiture en mouvement est freiné progressivement jusqu'à son arrêt, avec comme résultat un échauffement des freins et de la jante
Fig. 6.3: Freinage d'une roue
- jamais, on ne voit cette roue se mettre seule en mouvement en absorbant la chaleur dégagée par le freinage et remonter la pente
* Ces processus naturels sont irréversibles et respectent le premier principe (énergie conservée), comme d'ailleurs les processus inverses qui sont impossibles. Le premier principe n'exclut donc pas ces transformations inverses : mais, il n'explique pas leur sens privilégié et leur donc leur irréversibilité.
On a vu dans les deux exemples précédents que les sytèmes évoluent vers un plus grand désordre pour atteindre un état final stable ou état d'équilibre :
=> les transformations irréversibles sont spontanées et elles satisfont à la règle d'augmentation de l'entropie des systèmes, qui prend sa valeur maximale à l'équilibre.
* Le premier principe considère toutes les transformations comme également possibles: il ne tient pas compte du caractère irréversible d'une transformation et ne se prononce pas sur la notion d'irréversibilité des transformations spontanées. Il exclut le mouvement perpétuel de premier espèce c.à.d qu'on ne peut indéfiniment fournir de l'énergie sous une certaine forme sans en consommer ailleurs sous une autre forme.
* Le deuxième principe va définir le sens privilégié suivant lequel les transformations peuvent se dérouler et préciser les conditions d'équilibre du système. C'est un postulat basé sur des observations expérimentales.
6.3 Postulats d'irréversibilité
La thermodynamique classique ne cherche pas à expliquer le sens privilégié des transformations naturelles ou spontanées, mais elle postule simplement l'irréversibilité de ces transformations observées expérimentalement.
Enoncé de Clausius (déduit de l'exemple 1)
Fig. 6.4: Processus de transfert de chaleur impossible
Une quantité de chaleur ne peut jamais être transférée spontanément d'une source froide(BT) vers une source chaude (HT)
* Si l'interdiction de Clausius n'existait pas, on pourrait alors extraire p.ex sans dépense d'énergie l'énergie calorifique des océans, des fleuves ou de l'air pour faire bouillir de l'eau et ainsi faire fonctionner gratuitement des turbines à vapeur pour disposer d'énergie mécanique et électrique gratuite !!!
Enoncé de Kelvin (déduit de l'exemple 3)
Fig.6.5: Production de travail impossible
Il est impossible de prélever une quantité de chaleur Q d'une source d'énergie et de la transformer intégralement en travail
* Sans cette impossibilité, on pourrait construire un moteur qui pomperait de la chaleur d'une source (océan) et de la transformer complètement en travail pour faire avancer un navire !!!
6.4 Enoncé mathématique du deuxième principe
Compte tenu des deux postulats de Clausius et de Kelvin, imaginons un cycle de transformations au cours duquel :
une machine prélève de la chaleur Q à source à la température T2 < t =" Q/T2"> 0 car T1 > T2
=> Etant donnné que le processus précédent est impossible (selon Clausius), on en déduit que pour un cycle réel d'une machine, il faut donc que :
6.1)
le signe égal (=) valant pour un cycle réversible
l'inégalité (<) valant pour un cycle irréversible La relation 6.1) est l'énoncé mathématique du deuxième principe déduit des postulats d'irréversibilité. 6.5 Notion d'entropie S
Transformations réversibles
L'équation 6.1) va nous permettre de définir une nouvelle fonction d'état du système, appelée entropie S. Considérons un cycle thermodynamique formé de deux transformations réversibles: la somme de l'expression 6.1) peut alors être remplacée par une intégrale.
Fig. 6.6: Cycle réversible
d'où, 6.2)soit, Þ
finalement, on a :
6.3)
De la relation 6.3, on déduit que l'intégrale pour une transformation réversible ò AB dQrev /T:
ne dépend que des états initial et final
c.à.d qu'elle ne dépend pas du chemin suivi
Cette intégrale peut donc être considérée comme résultant de la variation d'une grandeur S, appelée entropie, définie par :
D S = SB- SA = ò AB dS = ò AB dQrev /T
6.4)
et par conséquent,
dS = dQrev /T
6.5)
où dS est une différentielle exacte et donc l'entropie S est une fonction d'état
Transformations irréversibles
Considérons le cycle irréversible formée d'une transformation réversible AB et d'une transformation irréversible BA. D'après la relation 6.1) on a alors:
soit, å AB dQ/T - ò AB dQrev /T <> å AB dQ/T ou dS > dQirr/T
6.7)
pour une transformation irréversible élémentaire, on a donc:
dS = dQirr/T + s
6.8)
où s est une source d'entropie caractérisant l'irréversibilité de la transformation: il y a création d'entropie.
Cas général: deuxième principe
La relation dS = dQirr/T + s
est l'énoncé le plus général du deuxième principe, avec s = 0 pour une transformation réversible et s ¹ 0 pour une transformation irréversible.
" La variation d'entropie d'un système thermodynamique ne peut être que positive ou nulle "
Remarque:
La différentielle dS est une différentielle totale exacte, alors que dQ n'est pas une différentielle exacte: le facteur 1/T appliqué à la forme différentielle dQ la transforme donc en différentielle totale exacte. On dit que 1/T est un facteur intégrant de la forme différentielle dQ.
Cas particuliers
a) Système isolé: dans un système isolé (adiabate et fermé) on a dQ = 0 et donc dS = 0.
" L'entropie d'un système isolé ne peut donc qu'augmenter ou rester constante "
b) Transfert spontané de chaleur
Soit un système isolé séparé en deux compartiments (à température différente T2 > T1) par une cloison isolante (adiabatique). Si on enlève la cloison, dans quel sens va s'écouler la chaleur?
Supposons qu'une quantité de chaleur dQ passe du compartiment 1 vers le compartiment 2 et déterminons le signe de dQ:
Fig. 6.7: Transfert de chaleur dans un système isolé
on a, dS1 = dQ/T1 et dS2 = dQ/T2
et la variation totale d'entropie du système isolé est donc: dS = dQ/(1/T1 - 1/T2)
or, pour un sytème isolé dS > 0 et comme T2 > T1, il en résulte que dQ > 0: c.à.d que le compartiment 2 reçoit bien de la chaleur.
Le deuxième principe explique donc le sens privilégié et irréversible de l'écoulement de la chaleur des hautes températures vers les basses températures.
Ce processus irréversible de transfert de chaleur se poursuivra jusqu'à l'égalité des températures dans les deux compartiments: alors, l'entropie du système isolé sera maximale et on aura atteint un état d'équilibre.
6.6 Interprétation statistique du deuxième principe
Le deuxième principe est étroitement lié à la notion de désordre. Ceci est bien illustré par l'exemple précédent du transfert de chaleur entre deux compartiments à température différente : où l'augmentation d'entropie du système isolé pour atteindre son état final d'équilibre correspond bien à la tendance naturelle de système à augmenter son désordre. En effet, dans l'état final les molécules du gaz sont bien mélangées et réparties de façon homogène et aléatoire dans toute l'enceinte: on a alors atteint un désordre maximum.
Or dans ce gaz, l'état macroscopique du gaz résulte d'un grand nombre d'états microscopiques caractérisés par des positions et vitesses individuelles des molécules différentes. Le but de la thermodynamique statistique est d'exprimer l'état microscopique au moyen des états microscopiques à partir des lois de la statistique:
la probabilité thermodynamique W d'un état macroscopique est le nombre des états microscopiques possibles du système déduit à partir de l'analyse combinatoire
un système aura toujours tendance à évoluer dans le sens de la plus grande probabilité thermodynamique W
il existe une corrélation entre la probabilité W et l'entropie exprimée par S = klnW
Comme la probabilité thermodynamique W est l'expression du désordre moléculaire, on peut donc dire que l'entropie S est une mesure du désordre moléculaire.
Une transformation irréversible correspond alors au passage d'un état macroscopique à un autre état macroscopique dont la probabilité W est plus grande.
Une transformation réversible correspond par contre au passage à un état macroscopique dont la probabilité thermodynamique W est égale.
6.7 Conséquences du deuxième principe
L'énoncé général du deuxième principe contient implicitement tous les énoncés classiques basés sur les cycles monothermes (énoncés de Clausius et Kelvin précédents) ou basée sur les cycles dithermes (cycle de Carnot). Un cycle monotherme ne fait intervenir des échanges d'énergie (Q,W) qu'avec une seule source de chaleur.
Machines thermiques
Puisqu'il est impossible d'après ce deuxième principe de prélever de la chaleur d'une seule source de chaleur et de la transformer intégralement en chaleur, une machine thermodynamique doit donc nécessairement fonctionner entre au moins deux sources de chaleur :
- la transformation de chaleur en travail (Q ® W) à partir d'une source chaude n'est donc possible qu'à la condition de rejeter une partie de la chaleur à une autre source froide (cycle ditherme).
- cette chaleur rejetée est donc perdue et influera sur les performances de la machine thermique: d'où la notion de rendement thermique
A partir de ce schéma à deux sources (une source chaude ou froide), on définit deux types de machines thermiques: les machines thermo-dynamiques TD et les machines dynamo-thermiques DT, dont le principe de fonctionnement est illustré sur les Fig. 6.8 et 6.9.
Machines thermo-dynamiques
Fig. 6.8: Machines thermodynamiques TD transformant de la chaleur en travail (Q ® W)
1er principe : Q2 = W + Q1
2è principe : notion de rendement
Machines dynamo- thermiques
Fig. 6.9: Machines dynamo-thermiques DT transformant du travail en chaleur (W ® Q)
1er principe: Q2 = W + Q1
2e principe: notion de coefficient de performance h
Les machines thermodynamiques sont des machines thermiques produisant du travail (machines motrices), c'est le cas :
des machines à vapeur (locomotives à vapeur, bateaux à vapeur...)
des moteurs à combustion à essence ou diesel
des centrales thermiques ou nucléaires (production d'électricité)
Les machines dynamo-thermiques sont par contre des machines de tranfert de chaleur, exemple :
les machines frigorifiques ou les pompes à chaleur
les liquéfacteurs de gaz
Cycle de Carnot
Un cycle de Carnot est un cycle ditherme moteur réversible (Fig.6.10):
évoluant entre deux sources de température T2 et T1 (avec T2 > T1)
formé de deux transformations isothermes (AB et CD) et de deux transformations isentropes (BC et DA)
Fig. 6.10: Cycle moteur réversible de Carnot
On réalise un tel moteur en enfermant une certaine masse m de gaz dans un cylindre fermé par un piston coulissant sans frottement. Au cours de ce cycle ABCDA, le gaz revient à son état intial après avoir :
reçu une quantité de chaleur Q2 à la température T2
fourni une quantité de chaleur Q1 à la température T1
fourni un certain travail W
L'énergie interne ne changeant pas au cours d'un cycle D U = UA - UA = 0, on a d'après le premier principe:
D U = Q2 + Q1 + W = 0 avec ½ W½ = Q2 - ½ Q1½
6.9)
Le rendement r du cycle de Carnot est alors défini par :
r = ½ W½ / Q2 = (Q2 - ½ Q1½ )/Q2 = 1- ½ Q1½ /Q2
6.10)
* On démontre que le cycle de Carnot est le cycle qui a le rendement maximun, aucun autre cycle d'une machine thermodynamique ne peut avoir un rendement plus grand.
Le cycle de Carnot est un cycle idéal et c'est pour cette raison que tous les autres cycles réels sont comparés au cycle de Carnot qui sert ainsi de référence.
On définit ainsi l'efficacité e d'un cycle quelconque comme le rapport du rendement de ce cycle au rendement de Carnot :
efficacité d'un cycle: e = r/rc (avec 0 < t1 =" 0" r =" 1">6.8 Calcul des variations d'entropie
D'après la formule de définition de l'entropie, D S = SB - SA = ò AB dS = ò AB dQ/T
- il suffira pour calculer la variation d'entropie d'un système entre deux états A et B, d'imaginer une transformation réversible allant de A vers B
- à 0K, les corps purs ont tous la même entropie S = 0, car à cette température tous les corps purs sont cristallisés et donc parfaitement ordonnés (W = 1 et donc S = 0)
Au cours d'une transformation élémentaire et réversible, on a :
dU = dQ + dW = dQ - pdV
soit pour l'entropie
dS = dQ/T = (dU + pdV)/T
6.13)
Transformation isochore (V = cte)
alors, dS = dU/T = mcvdT/T
soit, D S = mcvlnT2/T1
6.14)
Transformation isobare (p = cte)
alors, dS = (dH - Vdp)/T = mcpdT/T
soit, D S = mcplnT2/T1
6.15)
Transformation isotherme (T = cte)
dS = pdV/T = mrdV/V et D S = mrlnV2/V1
6.16)
car à T = cte et pour un gaz idéal: D U = D H = 0
Transformation isentrope (S = cte): dS = 0 et S2 =S1
avec, Wvisen = U2 -U1 et Wtisen = H2 - H1
Transformation polytrope
alors, dS = dQ/T = mcv(n - g )dT/(n - 1)T
soit, D S = mcv(n - g )lnT2/T1/(n - 1)
6.17)
ou, D S = mcplnT2/T1 - mrlnp2/p1
6.18)
Exercices : Deuxième principe et entropie
Ex1: Montrer que les énoncés de Clausius et de Kelvin sont équivalents. Pour cela, on considère le schéma à deux niveaux de température dans lequel:
on fait passer une quantité de chaleur Q1 de la source froide vers la source chaude (impossible selon Clausius)
cette chaleur Q1 ainsi transférée gratuitement est extraite de la source chaude et transformée partiellement en travail W par une machine M, l'autre partie étant rejetée à la source froide
Faites le bilan en énergie de ces deux opérations et dessiner le nouveau schéma en résultant. Conclusion.
Ex2: Cycle de Carnot. Montrer que le cycle de Carnot a le rendement maximun.
Supposons qu'il existe un autre cycle A avec un rendement supérieur à celui de Carnot. On dessinera dans le schéma à deux niveaux de température:
le cycle A qui extrait une chaleur Q1' < vd =" VB/VCd)" pa =" 1" ta =" 20" pc ="10" tc =" 250" vc =" 1" va =" 5,6" vb =" 4,26" vd =" 1,315" pd =" 7,6" pb =" 1,315" q2 =" 274" q1 =" -" w =" -">7. Cycles Thermodynamiques
Les machines thermodynamiques fonctionnent avec plusieurs transformations successives et répétitives formant un cycle. Dans la pratique, ces transformations ne sont pas réversibles. On remplace alors ces processus irréversibles par des transformations réversibles plus facilement calculables: d'où on obtient des machines idéales qui donnent une première approche du problème.
En effet, pour qu'une machine thermique fonctionne de façon ininterrompue:
une transformation 1-2 unique ne suffit pas, car elle ne fournit du travail qu'une seule fois et la machine s'arrête ensuite
il faut donc lui adjoindre une transformation inverse 2-1 et répéter le cycle périodiquement
7.1 Transformation unique et cycle
la transformation 1-2 n'est exécutée qu'une seule fois (le travail W n'est fourni une seule fois)
* Pour réaliser un cycle, le système fermé ou ouvert doit être ramené dans son état initial par un processus adéquat: ceci est illustré dans les figures suivantes.
7.2 Travail utile Wk d'un cycle
On considère un système effectuant un cycle réversible formé de deux transformations au cours desquelles le système échange de la chaleur et du travail avec le milieu extérieur.
Fig. 7.3: Cycle réversible
Q12 + W12 = U2 - U1
Q21 + W21 = U1 - U2
En additionnant ces deux équations, on obtient:
W12 + W21 = -(Q12 + Q21)
1)
En désignant par Wk la somme de tous les travauux effectués au cours d'un cycle et en appelant Wk le travail utile du cycle, on a de façon très générale pour un cycle quelconque :
Wk = å W = å Q
2)
où, W est soit le travail volumétrique Wv pour un système fermé ou soit le travail technique Wt pour un système ouvert
Convention de signes
Wk > 0 , si le cycle est décrit dans le sens inverse des aiguilles d'une montre: cas des machines dynamo-thermiques DT
Wk <>7.3 Cycles thermodynamiques usuels
Les cycles sont formés par la succession de plusieurs transformations et sont représentés dans un diagramme soit en coordonées (p,V) ou (T,S) ou (p,H). Ces diagrammes permettent de suivre l'évolution du fluide et de visualiser les énergies échangées.
Dans les machines thermo-dynamiques TD, de la chaleur est transformée en travail. Cette chaleur est fournie à partir de combustibles fossiles ou nucléaires ou à partir d'énergie solaire ou géothermique: elle est transférée au fluide de travail (eau, air...) à la température la plus élevée possible. Ces machines sont des systèmes fermés où le fluide revient à son état initial après diverses transformations successives.
Dans les moteurs à combustion, de l'énergie contenue dans le carburant est libérée par réaction chimique avec l'air enfermé dans un cylindre et le mélange change de composition. Ces machines sont des systèmes ouverts auxquels on amène de l'air et un carburant et on rejette les gaz brûlés à l'atmosphère.
On peut traiter ces diverses machines thermiques à partir de cycles thermodynamiques où les processus réels irréversibles sont remplacés par des processus simplifiés et réversibles. Ces transformations réversibles représentent alors une machine idéale sans perte de chaleur par frottement.
Dans les systèmes ouverts, on simplifie en idéalisant le fonctionnement de la machine c.à.d en remplaçant l'arrivée et le rejet de gaz dans la machine par un apport et une cession de chaleur par échange: on néglige ainsi les changements de composition chimique du gaz liés à la combustion.
Les fluides de travail (vapeur d'eau, air ou gaz...) dans ces machines sont assimilés à des gaz parfaits, ce qui est à peu près le cas dans les domaines de pression et température considérés.
7.3.1 Cycle de Carnot
Le cycle de Carnot est le cycle à rendement maximun et sert de ce fait de cycle de référence auquel on compare tous les autres cycles, pour évaluer leurs performances. Il est formé successivement de :
Fig. 7.5: Cycle moteur de Carnot
- une transformation isotherme 12 (T2 = cte)- une transformation isentrope 23 (Q23 = 0)- une transformation isotherme 34 (T1 = cte)- une transformation isentrope 41 (Q41 = 0)
Le travail utile de ce cycle est donnée par :
Wk = å Q = - (Q12 + Q34)
3)
or, Q12 = mrT2lnV2/V1 et Q34 = mrT1lnV4/V3
4)
on peut montrer que, V2V4 = V1V3
d'où, en posant: Q12 = Q2 et Q34 = Q1 on a finalement:
5)
* On vérifie bien la relation mathématique du deuxième principe selon laquelle å dQ/T = 0 pour un cycle réversible.
*On définit le rendement du moteur de Carnot par le rapport du travail dépensé au cours du cycle sur la chaleur fournie à la machine :
6)
et comme T2 <>7.3.2 Cycle de Rankine
Le cycle de Rankine est à la base des Machines utilisant la vapeur d'eau dans les Centrales thermiques et nucléaires, il comprend (Fig. 7.6):
deux isobares BP et HP
deux isentropes (Q= 0)
Le cycle de la vapeur d'eau est une suite de transformations dans des systèmes ouverts successifs (chaudière, turbine, condenseur et pompe d'alimentation...). L'énergie emmagasinée dans les combustibles fossiles ou nucléaires est convertie en travail mécanique pour entraîner soit une turbine (Centrales T + N) soit un moteur à piston (Locomotives à vapeur...). Le processus comprend la vaporisation de l'eau, la détente de la vapeur dans la turbine et sa condensation dans un condenseur.Si ce cycle de Rankine est modifié par une surchauffe de la vapeur à la sortie de la chaudière on l'appelle alors cycle de Hirn (Fig. 7.7).
Fig.7.6: Cycle de Rankine
Fig. 7.7: Cycle de Hirn avec surchauffe 4-5
7.3.3 Cycle de Stirling
C'est le cycle du moteur à air chaud qui comprend:
deux isothermes (compression et détente)
deux isochores
Dans ce processus, de l'air traverse un cylindre en entraînant un piston avec alternativement un apport de chaleur à HT et libération de chaleur à BT et production de travail.
Le cycle de Stirling inverse est à la base des liquéfacteurs de gaz (ex. production d'azote et d'hélium liquide).
Fig. 7.8: Cycle de Stirling
7.3.4 Cycle de Joule de la turbine à gaz
Un cycle peut aussi être réalisé par une succession de systèmes ouverts. Si on veut produire du travail par détente dans une turbine à gaz, il faut ajouter à l'installation un turbocompresseur ou un compresseur à piston et deux échangeurs de chaleur. Ce cycle comprend alors:
deux isentropes de compression et détente
deux isobares avec apport et cession de chaleur par deux échangeurs
Fig. 7.9: Cycle de Joule
mise en page P. Trau - février 1999

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APPLICATION AUX MACHINES THERMIQUES

8. MACHINES THERMODYNAMIQUES (TD)
8.1 LES MOTEURS A COMBUSTION INTERNE
8.1.1 Introduction
On sait que le rendement thermique rc d'un cycle de Carnot augmente si la différence de température D T = T2 - T1 augmente, en effet on a :
On en conclut que si on brûlait directement les gaz (air + carburant) dans l'enceinte de la machine ou moteur, on augmenterait sensiblement la température T2 : d'où, un rendement final plus élevé. C'est là, le principe du moteur à combustion interne.
En plus, on aurait intérêt à utiliser un cycle de Carnot car c'est le cycle à rendement maximum.
Fig. 8.1 : Cycle Moteur de Carnot
- isothermes AB et CD
- isentropes AD et BC
Mais cette idée n'est pas réalisable dans la pratique, car si la température finale T2 est très élevée, alors la pression correspondante atteint des valeurs trop élevées incompatibles avec un moteur normal.
ex. en effet, si T2 = 1800°C et si on partait de T1 = 15 °C avec p1 = 1bar, alors par calcul, on aurait p2 > 200 bar (avec g = 1,33).
Il faudrait alors surdimensionner les moteurs pour travailler à ces pressions élevées. Or, les moteurs actuels ont des taux de compression inférieurs (de 15 ou 25), au lieu d'un taux irréalisable de 400 pour le cycle de Carnot.
* Par conséquent, il faut donc modifier le cycle de Carnot inutilisable dans les moteurs à combustion : ceci est réalisé de deux façons différentes en supprimant les deux transformations isothermes AB et BC. On obtient alors respectivement :
le cycle à volume constant du moteur à essence, en remplaçant :
=> l'isotherme AB par une isochore A1B=> l'isotherme CB par une isochore C1D
le cycle à pression constante du moteur Diesel, en remplaçant :
=> l'isotherme AB par une isobare A2B=> l'isotherme CD par une isochore C1D
d'où, les deux cycles A1BC1D à volume constant et A2BC1D à pression constante dont les rendements seront inférieurs au cycle idéal de Carnot.
Dans ces moteurs à combustion interne, l'énergie chimique d'un carburant est convertie par combustion dans un machine à pistons en travail mécanique : ces moteurs sont donc des systèmes ouverts avec combustion interne. Au cours de cette combustion, la composition du mélange air-carburant change et les gaz brûlés sont évacués dans l'atmosphère extérieur. On a donc un système ouvert et irréversible ou le mélange change à la fois de masse et de composition.
On idéalise alors ces moteurs en ne considérant qu'un cycle à air dans lequel on négligera la variation de composition et de masse du mélange, d'où un moteur à air correspondant à un cycle idéal et à un sytème fermé.
Grâce à différentes méthodes de combustion et donc d'apport de chaleur, on distingue différents types de moteurs tels le moteur à essence, le moteur diesel et le moteur diesel mixte de Seiliger.
=> Les rendements de ces cycles à volume ou à pression constante sont bien sûr inférieurs au rendement du cycle de Carnot.
8.1.2 Le cycle à volume constant (Beau de Rochas)
Moteur à essence
Considérons le cycle théorique du moteur à essence représenté par son diagramme de Watt théorique en coordonnées (p,V), voir Fig. 8.2. Il s'agit de :
un cycle ouvert avec évacuation des gaz brulés à l'atmosphère (la masse de gaz varie donc)
ce cycle idéalisé est constitué de quatre phases ou temps en admettant les hypothèses suivantes
1) Cycle théorique ou Diagramme de Watt théorique
Hypothèses :
les ouvertures et fermeture des soupapes d'admission et d'échappement sont instantanées et sans perte de charge (D p = 0)
l'allumage et la combustion sont instantanés
la compression et la détente sont isentropiques (c.à .d sans perte de chaleur)
on suppose les chaleurs massiques Cp et Cv = constantes au cours du cycle
Fig. 8.2 : Cycle théorique de Watt
- 1er temps de 0-1 : phase admission du gaz
- 2ème temps de 1-2 : phase de compression isentrope
- 3ème temps de 2-3-4 : phase allumage à V = cte. La phase 3-4 détente isentrope (seule motrice)
- 4ème temps de 4-1-0 : phase d'échappement

où, Vk est le volume ou espace mort de 0.2 à 0.3 mm
2) Cycle réel du moteur à essence
Les hypothèses précédentes avec des transformations successives idéales et réversibles ne sont pas réalisées dans la pratique :
il faut tenir compte des pertes de chaleur par les parois du cylindre refroidi (d'où une réduction de la température T2 en fin de compression et donc de la pression p2)
il y a également des pertes de charge par laminage au niveau des soupapes, réduisant la pression pendant la phase d'aspiration 0-1 et augmentant la pression pendant la phase d'échappement 1-0 (d'où p1 ¹ p2)
la combustion n'est pas instantanée, pour cela on provoque l'inflamation du mélange avant la fin de la compression (avance à l'allumage)
les chaleurs massiques Cp et Cv ne sont pas constantes
Le diagramme de Watt de ce cycle pratique est schématisé Fig.8.3.
Fig. 8.3 : Diagramme de Watt réel schématisé
0-1 : admission
1-2 : compression
2-3 : explosion
3-4-5 : détente
6-7 : échappement
Fig. 8.4 : Cycle réel du moteur à essence
3) Cycle fictif du moteur à essence : Moteur à " air chaud "
Le cycle schématisé de la Fig. 8.3 s'approche déjà du cycle réel enregistré d'un moteur à essence : mais, il s'agit toujours encore d'un cycle ouvert (avec rejet des gaz brulés dans l'atmosphère.
Afin de pouvoir opérer des calculs simples sur ce cycle, on l'assimile à un cycle fermé utilisant uniquement de l'air supposé un gaz parfait :
la chaleur Q2 est amenée à l'air par l'explosion 2-3 en introduisant une masse de carburant qu'on néglige p.r à la masse d'air
une chaleur Q1 est ensuite restituée pendant la phase 4-1 à nl'atmosphère
On obtient ainsi un cycle idéalisé avec de l'air chaud formé de transformations supposées réversibles, voir Fig. 8.5 et comprenant :
Fig. 8.5 : Cycle fictif du moteur à air chaud
- de deux isentropes 1-2 et 3-4
- et de deux isochores 2-3 et 4-1
- l'aire du cycle 1234 correspond au travail fourni par le moteur
On représente également ce cycle fictif dans un diagramme T-S (Fig. 8.6).
Fig. 8.6 : Cycle fictif du moteur à air chaud en T-S
4) Le rendement du moteur à essence
On définit le rendement thermique rth d'un moteur comme le rapport du travail fourni W sur la chaleur reçue Q2 :
soit donc,
Dans le diagramme T-S, le cycle fictif du moteur à air chaud (à masse m = cte) est représenté par la Fig. 8.6, où :
l'aire 1'233' = Q2 = mcv(T3- T2)
l'aire 1'143' = Q1 = mcv(T4 - T1)
l'aire 1234 = Wk est le travail fourni ou travail utile
et donc, Wk = -(Q2 + Q1) = mcv(T2 -T1 -T4 -T3)
d'où,
si, on désigne par : a = V1/V2 le rapport de compression (avec V1 = Vcyl + Vk), on montre que :
T3/T4 =T2/T1 = ag -1
Soit donc,
On définit encore d'autres rendements :
Rendement thermique (cycle théorique)
Rendement du diagramme réel
Rendement indiqué
Rendement mécanique
Rendement de propulsion
8.1.3 Cycle à pression constante
Moteur Diesel
Le cycle théorique du moteur Diesel est représenté dans le diagramme de Watt théorique en coordonnées (p,V) sur la Fig. 8.7. Il s'agit également de :
un cycle ouvert avec évacuation des gaz brulés à l'atmosphère (m varie donc)
ce idéalisé est aussi constitué de quatre phases ou temps
1) Cycle théorique ou Diagramme de watt théorique
Hypothèses :
mêmes hypothèses que pour le cycle théorique du moteur à essence
Fig. 8.7 : Cycle théorique de Watt
On définit les grandeurs du cycle Diesel :
- a = V1/V2 , le taux de compression volumique
- b = V2/V3 , le taux de détente volumique
- c = V3/V2 = a/b , le taux d'injection
Caractéristiques du cycle :
l'évolution 1-2 (compression isentrope) s'effectue uniquement sur l'air, le taux de compression est ici plus élevé (a = 25) que pour le moteur à essence (a = 10)
de ce fait, la température T2 en fin de compression est très élevée et afin d'éviter une auto-inflammation du mélange air-carburant au cours de la phase 1-2, on réalise une compression séparée de l'air et du carburant
le carburant est alors injecté au point 2 dans la chambre de combustion rempli d'un air, porté par la compression à une température T2 < p =" cte," q2 =" mcp(T3" q1 =" mcv(T1" wk =" -(Q2" name="c84">8.1.4 Cycle Diesel mixte de Seiliger
Les moteurs Diesel actuels plus rapides utilsent un cycle Diesel modifié :
avec des injections plus rapides et courtes grâce à l'emploi de pompes d'injection HP (qq. 100 bars)
permettant une pulvérisation très fine du carburant et des vitesses d'injection élevées
ce cycle comprend une combustion partiellement à P = cte et V = cte
Ce cycle de Seiliger est représenté sur les Fig. suivantes :
Fig. 8.9 : Cycle mixte Diesel théorique
Fig. 8.10 : Cycle mixte en T-S
Exercices sur les cycles thermodynamiques
Comparer les cycles à p = cte et V = cte en diagramme T-S, en supposant l'égalité des températures et pressions maximales (points 3 confondus). Conclusion sur les rendements.
Une masse d'air de 100 kg à 150 bar et 4à°C traversent successivement des systèmes ouverts au cours d'un cycle, dans l'ordre indiqué :
cet air s'écoule d'abord à travers un échangeur de chaleur qui lui cède une quantité de chaleur de 5O MJ à pression constante
ensuite l'air cet air se détend dans une turbine avec injection de carburant, ceci se fait selon une transformation polytrope n = 1,2
finalement, l'air est détendu dans un compresseur refroidi à température constante, jusqu'à son état initial
Ce processus se déroule de façon réversible.
Représenter ce cycle dans un diagramme p,V. Quel est le type de machine TD ou DT
Déterminer pour les trois points du cycle les pressions, volumes et températures
Déterminer également pour ces points l'énergie interne et l'enthalpie, sachant que U1 = 0
Calculer le travail utile fourni par la machine. Commenter le signe
Rép.
2.2) p1 = 150 bar et T1 = 313K (40°C), V1 = 0,599 m3
p2 =150 bar et T2 = 811K (538°C),V2 = 1,55 m3
p3 = 0,5 bar et T3 = 811K, V3 = 180 m3
2.3) U1 = 0 et H1 = 9 MJ U2 = 35,7 MJ et H2 = 59 MJ U3 = 0 et H3 = 9 MJ
On considère un cycle de Carnot moteur 1234, formé de deux isentropes et de deux isothermes (voir le cours).
Représenter ce cycle en coordonnées (p,V) et (T,S) et indiquer par des flèches les quantités de chaleur et les travaux échangés pour chaque transformation
Calculer les quantités de chaleur Qij
Calculer les travaux Wij échangés
Calculer les rapports des volume V1/V4 et V2/V3. Conclusion
Montrer que Q34/Q12 = -T3/T1
Calculer le travail utile du cycle Wk à partir des chaleurs échangées Qij
Calculer le travail Wk à partir des travaux Wij
En déduire le rendement du cycle de Carnot en fonction de T1 et T2
On décrit à présent ce cycle de Carnot en sens inverse (machine DT). Evaluer son " rendement " comme pompe à chaleur en f(T)
Donner la relation qui lie ces deux rendements

9) MACHINES DYNAMOTHERMIQUES (DT)
Les machines (DT) sont des machines qui transfèrent de la chaleur d'une source froide à une source chaude, moyennant un apport de travail : elles ne sont donc pas des moteurs.
il y a extraction de chaleur à la source froide, c.à.d production de froid : on a donc une machine frigorifique (MF)
il y a dégagement de chaleur à la source chaude, c.à.d production de chaleur : on a donc une pompe à chaleur (PAC)
9.1) LES MACHINES FRIGORIFIQUES A COMPRESSION SIMPLE
Ces machines frigorifiques n'utilisent qu'une compression simple (c.à.d pas de compresseurs en étage ). Le compresseur est soit un compresseur à pistons, soit un compresseur à membrane ou un compresseur à vis.
9.1.1 - Principe de fonctionnement de la machine frigo
Une machine frigo (MF) comprend principalement quatre éléments principaux et divers accessoires (Fig. 9.1).
Les éléments principaux sont :
le compresseur K
le détendeur D
deux échangeurs de chaleur : le condenseur C et l'évaporateur E
Les accessoires les plus courants sont :
un déshydrateur DH
un voyant liquide V
deux manomètres HP (M2) et BP (M1)
Fig. 9.1 : Schéma d'une machine frigo (masse de 1kg de fluide)
9.1.2 - Les Fluides Frigorigènes
On utilise comme fluide de travail des fréons F12, F22, F502...et du NH3. Ces fluides frigorigènes changent d'état au cours du cycle 123451, ils passent de l'état V => L dans le condenseur et de l'état L => V dans l'évaporateur.
La production de froid est obtenue par l'évaporation d'un fluide frigorigène dans un échangeur de chaleur (l'évaporateur E) : cette évaporation est un phénomène endothermique qui extrait des calories à la source froide (eau, air...) dont la température s'abaisse.
" cette extraction de calories correspond à la création de froid au niveau de l'évaporateur, c.à.d à la production de frigories (notées fg) "
par définition, 1 fg = 1kcal
Les fluides frigorigènes sont choisis pour satisfaire aux paliers d'évaporation et de condensation aux températures souhaitées pour l'exploitation de l'installation. Les températures d'ébullition téb à la pression atmosphérique pour divers fluides sont données dans le tableau :
Fluide
F12
F22
F502
NH3
H2O
téb(°C)
- 29,8
- 40,8
-45,6
- 33,3
100
ex. 1kg de NH3 fournit en s'évaporant à -10°C, une quantité de frigories de 309,7 fg/kget 1kg de NH3 fournit en se condensant à + 30°C, une quantité de chaleur de 273,6 kcal/kg
Un compresseur nécessite pour son bon fonctionnement, un film d'huile entre la chemise du cylindre et les segments des pistons : il refoule toujours à la compression un peu d'huile qui se mélange au fluide frigorigène. Dans les grandes installations, surtout au NH3 , on utilise un séparateur d'huile à la sortie du compresseur et on réinjecte ensuite une grande partie de cette huile dans le carter.
Mais, l'huile non séparé se retrouve dans l'évaporateur au point bas de l'échangeur, qui est alors muni d'un purgeur d'huile pour éviter son accumulation au fond.
9.1.3 - Les Rôles des différents organes de la machine MF
Rôle du compresseur K :
il met en route la circulation du fluide (pompe aspirante et refoulante)
il comprime le gaz (1-2) de la pression p0 (~2bar) à pc (~8bar) pour le fréon F22 en absorbant un travail W
Rôle du condenseur C :
il refroidit la vapeur surchauffée (désurchauffe 2-2')
il y a condensation de la vapeur V => L (2'-3) en libérant les calories qc (source chaude) à pression et température constantes (pc = cte et tc = cte)
* on dimensionne le condenseur C de sorte que la condensation soit totale à la sortie* on distingue entre compresseurs frigorifiques ouverts, semi-hermétiques et hermétiques (Fig)
Rôle du détendeur D :
il réduit fortement la pression HP par perte de charge D p à travers un tube capillaire ou un robinet à pointeau
cette détente entraîne une vaporistion partielle du liquide et un refroidissement du fluide
Rôle de l'évaporateur E :
il vaporise le fluide (L =>V) en absorbant les calories q0 à la source froide, à pression et température constantes (p0 = cte et t0 = cte)
Rôle du Voyant V :
il permet de contrôler la charge en fréon de la machine lors du remplissage et en cours de fonctionnement
il signale la présence d'humidité (vapeur d'eau) dans le fluide grâce à une pastille verte qui vire au jaune
Rôle du déshydrateur DH :
il filtre le fluide qui le traverse (copeaux métalliques, trace de soudure) et élimine la vapeur d'eau avec du silicagel
Rôle des manomètres HP et BP :
ils contrôlent la pression dans le condenseur (HP) et l'évaporateur (BP) et le bon fonctionnement de l'installation
ils sont gradués par rapport à la pression atmosphérique et indiquent donc une pression relative (pabs = pr + 1 bar)
ils mesurent aussi les températures tc et t0 dans le condenseur et l'évaporateur, du fait de la relation univoque p= f(t) lors d'un changement d'état
* Ces différents éléments ou organes de la machine frigo sont illustrés dans les Fig. 9 avec d'autres accessoires telles les vannes simples ou électromagnétiques, la vanne à inversion de cycle (à quatre voies), le détendeur thermodynamique...
A côté des organes déjà mentionnés, on utilise encore d'autres accessoires pour :
commander ou réguler la machine MF (pressostat HP-BP, thermostats de réglage, pressostats à eau,...)
pour mesurer et contrôler des grandeurs (manomètres, thermomètres, wattmètre, débimètres...)
9.1.4 - Le Cycle théorique de Mollier de la machine MF
Afin de pouvoir exploiter et contrôler une machine frigo, on utilise un cycle théorique d'une machine idéale en admettant les hypothèses simplificatrices suivantes :
Hypothèses :
la compression du fluide 1-2 est isentropique (pas de perte de chaleur)
il n'y a pas de perte de charge dans la tuyauterie et les échangeurs (les paliers de condensation et d'évaporation sont à p = cte, c.à.d des isobares)
la détente 4-5 est isenthalpe (H = cte) avec H = mh
On représente alors ce cycle idéalisé dans un diagramme (logP,h) appelé diagramme de Mollier (voir Fig. 9.3).
Fig. 9.2 : Cycle de Mollier théorique
Caractéristiques du cycle :
la compression 1-2 est isentopique avec apport de travail wth de l'extérieur
la vapeur surchaufée à la sortie du compresseur se désurchauffe de 2-2', dans la tuyauterie et au contact de l'eau dans le condenseur
à partir du point 2', la vapeur se condense progressivement dans le condenseur (C) de 2'-3 (mélange L+V), et au point 3(4) on n'a plus que du liquide (titre x = 0)
ensuite, le liquide se détend à enthalpie constante de 4-5
la vapeur humide (mélange L+V) s'évapore progressivement dans l'évaporateur (E) de 5-1
la portion 1'-1 correspond à une surchauffe de la vapeur dans l'évaporateur
Le diagramme de Mollier est rapporté à une masse de fluide frigorigène m = 1kg.
Bilan d'énergie de la machine MF
En vertu du premier principe de la Thermodynamique, il y a conservation de l'énergie : c.à.d que la quantité de chaleur rejetée au condenseur (qc) doit être égale à la chaleur extraite à l'évaporateur (q0) et plus le travail (wth) consommé pour faire tourner le compresseur.
d'où l'équation,
qc = q0 + wth
(9.1)
cette équation traduit donc le bilan d'énergie de la machine frigo idéalisée.
* Le choix d'échelle en abscisse (enthalpie h en kJ/kg) est très pratique pour l'exploitation quantitative du cycle de Mollier, car il permet de lire directement les énergies hi aus différents points i (1,2,3,4) du cycle de la machine (voir diagrammes en annexe).
On vérifie ainsi le premier principe sur l'échelle en abscisse, car on constate que :
la quantité de chaleur dégagée au condenseur : qc = h2 - h4
la quantité de froid produite à l'évaporateur : q0 = h1- h5
le travail dépensé au compresseur : wth = h2- h1
et par conséquent, on vérifie bien la relation 9.1, car :
h2 - h4 = (h1 - h5) + (h2 - h1) = h2 - h4 (car h4 = h5)
Coefficient de performance COP
Dans les machines DT (MF et PAC), on remplace le terme de rendement de la machine par son coefficient de performance (COP) h , car le rendement serait > 1 (paradoxe de Kelvin). Le COP de la machine frigo h F est défini par la relation 9.2 :
Fig. 9.3 : Schéma de la machine MF
(9.2)
or, qc = q0 + wth (premier principe)
d'où,
* on constate alors, que le COP h F > 1 (car Tc > T0) et dans la pratique, h F = 3 à 5
Par conséquent, on extrait plus de calories à la source froide T0 que d'énergie-travail fourni au moteur : ceci explique l'intérêt des machines DT pour le chauffage et la climatisation des bâtiments et maisons.
9.1.5 - Grandeurs caractéristiques de la machine MF
Une machine ou installation frigo est d'abord caractérisé par :
son régime nominal de fonctionnement défini par (tc ,t0 , tSR), c.à.d par le choix des températures de ses paliers de condensation (tc) , d'évaporation (t0) et de sa température de sous-refroidissement (tSR = t4)
sa puissance frigorifique F 0 donnée en fg/h ou kJ/kg avec (1 fg/h = 1 kcal/h)
On définit en plus un certain nombre de grandeurs caractéristiques de la MF( voir le Tableau des valeurs), ces grandeurs sont rapportées :
soit, à l'évaporateur (production frigo massique q0 , production frigo par m3 aspiré q0 , débit massique qm , débit volumique aspiré Va ou balayé Vb, puissance frigo...)
soit, au condenseur (quantité de chaleur à évacuer qc , puissance calorifique Pc... )
soit, au compresseur (travail théorique wth ou réel wr , puissance théorique Pth et réelle Pr , puissance absorbée par rapport à la puissance frigo N(kW)...)
L'évaluation de ces diverses grandeurs à partir du diagramme de Mollier ou d'un logiciel dédié, permet de caractériser et contrôler la machine MF.
Le relevé des pressions et températures en divers points du circuits et le tracé du cycle de Mollier permet de contrôler le bon fonctionnement de la machine automatisé ou non.
Le technicien ou l'ingénieur sont confrontés à deux types de problèmes :
la détermination des caractéristiques géométriques du compresseur (puissance développée, course, alésage, nombre de pistons et d'étages...) et des échangeurs (dimensions et types...), connaissant la puissance frigo souhaité par le client
le contrôle et la maintenance de l'installation frigo en fonction du régime nominal défini et de la puissance frigo imposée en relevant périodiquement les paramètres mesurables (t, p, débit, puissance...)
On compare également l'efficacité e de la machine frigo, définit comme le rapport du COP cycle de Mollier par le cycle de Carnot inverse, soit :
avec, 0 < name="c96">9.1.6 - Modification du cycle fonctionnel de la machine MF
Le but d'une machine frigo est de produire du froid (c.à.d des frigories) par extraction de calories à la source froide, en évaporant un fluide frigorigène et d'abaisser la température de cette source de + 5°C à - 30°C selon l'usage (frigo ou congélateur, chambre froide).
En terme d'économie d'énergie et de rentabilité, on cherche donc à optmiser la production de froid q0 avec une dépense de travail wth consommé minimun, soit donc à avoir un COP élevé.
D'après la définition du COP de la machine frigo h F , il faut donc augmenter la production frigo massique q0m = h1 - h5 , représentée par le segment [h5h1] sur la Fig. 9.4.
Fig. 9.4 : Cycle de Mollier de la machine MF
- on cherche donc à augmenter q0m , c.à.d la longueur du segment (h1 - h5)
- on a donc intérêt à utiliser au maximum la chaleur latente d'évaporation (h7 - h6)
L'augmentation de la quantité de froid produite q0m est alors obtenue (voir Fig. 9.4) :
en déplaçant le point 1 vers la droite, grâce à une surchauffe du fluide
en déplaçant le point 5 vers la gauche, grâce à un sous-refroidissement du fluide
1) Sous-Refroidissement du liquide
Le fluide frigorigène à l'état liquide à la sortie du condenseur (point 3) est sous-refroidi (c.à.d on abaisse sa température en déplaçant le point 3 vers la gauche), ceci est réalisé :
soit, dans le condenseur lui-même en augmentant ses dimensions (c.à.d sa surface d'échange)
soit, dans une bouteille d'accumulation (BA) placée à la sortie du condenseur
soit, dans un échangeur interne situé entre le condenseur et l'évaporateur
On peut procéder soit à un seul sous-refroidissement (de 3-4) ou à deux sous-refroidissements successifs (de 3-4 et ensuite de 4-4'), voir la Fig. 9.5 : en déplaçant le point 3 vers la gauche, on déplace automatiquement le point 5 vers la gauche et on augmente ainsi la partie de la chaleur latente non exploitée.
2) Surchauffe de la vapeur
Le fluide frigorigène à l'état de vapeur humide est surchauffé (c.à.d on élève sa température en déplaçant le point 1 vers la droite), ceci est réalisé (voir Fig. 9.6) :
soit, dans l'évaporateur lui-même en augmentant ses dimensions
soit, dans une bouteille anti-coups liquide (BACL) placée à la sortie de l'évaporateur
soit, dans un échangeur interne situé entre les deux échangeurs
En déplaçant le point 1 vers la droite, on augmente également la portion de chaleur latente d'évaporation non utilisée.
Fig. 9.5 : Sous-refroidissement du liquide
Fig. 9.6 : Surchauffe de la vapeur
En procédant à des sous-refroidissements et à des surchauffes dans les installations frigorifiques, on augmente donc le froid produit dans l'évaporateur et le segment q0m s'approche de la chaleur latente d'évaporation : on extrait alors plus de calories à la source froide en exploitant au maximun la chaleur libérée par l'évaporation du fluide.
Une telle installation frigo avec deux sous-refroidissements (de 3-3' et de 3-4) et une surchauffe (de 1-1') est représentée dans la Fig. 9.7 .
Installation Frigorifique
Fig. 9.7 : Installation frigorifique avec sous-refroidissement et surchauffe
9.1.7 - Régimes de fonctionnement
Une machine frigorifique peut fonctionner selon deux types de régimes, à savoir :
le régime humide utilisé dans les premières machines MF
le régime sec conseillé et utilisé actuellement
Ces régimes de fonctionnement sont illustrés dans les Fig. 9.8 et 9.9.
1) Régime humide
Fig. 9.8 : Fonctionnement en régime humide
- dans ce régime, la compression 1-2 se termine juste à l'état sec (point 2)
- ce régime présente des risques pour le compresseur K (coups de bélier), du fait d'une présence possible d'un résidu liquide en fin de compression (déplacement du point de 1 à 1')
- ce régime réduit la production frigo q0m
2) Régime sec
Pour éviter ces risques de coups de bélier en fin de compression (dommageable au compresseur), on prèfère donc travailler en régime sec, en déplaçant le point 1 vers la droite grâce à une surchauffe dans l'évaporateur ou une bouteille BACL. On déplace alors le point du régime de vapeur humide (mélange L+V) vers le régime de vapeur sèche ou surchauffée.
Fig. 9.9 : Régime sec
Si la surchauffe est réalisée dans l'évaporateur lui-même, alors l'augmentation du froid produit augmente les performnances de la machine MF. En cas d'inversion du sens de circulation du fluide frigorigène par une vanne d'inversion à quatre voies, une BACL s'impose pour éviter d'aspirer du liquide dans le compresseur.
9.1.8 - La pompe à chaleur PAC
Les machines dynamothermiques transfèrent de la chaleur d'une source froide à une source chaude et de ce fait combine deux fonctions essentielles :
la production de froid au niveau de l'évaporateur, par absorption de calories à la source froide (machine frigo)
la production de chaleur au niveau du condenseur, par dégagement de calories à la source chaude (pompe à chaleur)
On dispose donc, d'une machine capable de :
produire du froid (réfrigérateur, congélateur, chambre froide, salle d'ordinateur...)
de produire du chaud pour chauffer un local, un bâtiment (pompe à chaleur)
d'assurer à la fois le chauffage et le refroidissement d'un local (climatisation) en utilisant une vanne d'inversion, qui échange le rôle des échangeurs selon les saisons ETE ou HIVER
La pompe à chaleur (PAC) se distingue donc uniquement de la machine frigo (MF) par son régime nominal de fonctionnement, c.à.d par les valeurs des températures de condensation tc et d'évaporation t0 :
dans une machine MF, on veut obtenir des températures t0 basses (+5° à -30°C)
dans une machine PAC, on veut obtenir des températures plus élevées pour tc (40 à 60°C)
Les cycles respectifs de ces deux machines sont représentés sur la Fig. 9.10.
Fig. 9.10 : Cycles respectifs d'une PAC et MF
9.1.9 - Machine Frigo et PAC réels
Dans la pratique les machines frigo et PAC ne décrivent pas le cycle idéal de Mollier, car les hypothèses admises ne sont pas respectées :
la compression n'est pas isentropique (perte de chaleur)
la détente n'est pas isenthalpique
il a perte de charge au niveau des soupapes d'admission et de refoulement du fluide, ainsi que dans la tuyauterie (~ 0.2 à 0.4 bar)
les échangeurs ne sont pas parfaits
Ces déviations par au rapport à une machine idéale se traduisent par une perte de performance et par le cycle réel de la Fig. 9.11.
Fig .9.11 : Cycle réel de la machine frigo ou PAC
Ce cycle réel de la machine frigo se traduit par un COP h r < r =" 3" name="c9a">Exercices sur la Machine Frigo et la PAC
Ex1 : Une machine frigo évacue par son condenseur un flux thermique de 33.800 kcal/kg. On sait que la puissance mécanique foournie au compresseur est de 10 kW.
Donner le schéma à deux niveaux de température de cette machine en y indiquant les grandeurs échangées
Quelle est la quantité de frigories produites à l'évaporateur
Quel est le COP de la machine frigo
Rép. : 2) 25.200 fg/h 3) 2.93
Ex2. : Soit une machine frigo fonctionnant au fréon 22. Le fluide injecté dans l'évaporateur provient du condenseur, d'où il sort à 25°C sous la pression de 12,5 bar absolu. Dans l'évaporateur le fluide se stabilise à la température de -20°C. En utilisant le diagramme du fréon R22 :
Déterminer la chaleur latente de vaporisation du fréon
Quelle est la production frigo massique foournie par 1kg de fréon, sachant que l'aspiration au compresseur se fait en vapeur juste sèche
Donner le titre de la vapeur humide à l'entrée de l'évaporateur
Donner la définition du titre x d'une vapeur humide. En déduire par lecture sur le graphique la relation liant ce titre aux enthalpies
Quels moyens sont utilisés pour augmenter cette production frigorifique
Sachant que le débit massique du fréon est de 300 kg/h, calculer la puissance frigorifique de la machine
Rép :
1) L(-20°C) = 51 kcal/kg
2) 38 kcal/kg
3) 0.25
6) 11.400 kcal/kg
Ex.3 : Les grandeurs principales d'une installation frigo et choix du compresseur
Soit, un compresseur fonctionnant au fréon 22, au régime nominal -10/+30/+25°C et développant une puissance frigo brute de 40.000 fg/h.
Le compresseur fonctionne en régime sec et ses rendements volumétriques et indiqués sont égaux et le rendement mécanique est de 0.90 : on donne nv = 1 - 0.05pc/p0.
La surchauffe des vapeurs aspirées par le compresseur est de +10°C.
Tracer le schéma de l'installation et son cycle sur le diagramme de Mollier
Consigner dans un tableau les valeurs des pressions, tempéraures, enthalpies et titres aux différents points du cycle
Déterminer alors les grandeurs caractéristiques de la machine selon le Tableau des grandeurs
Calculer la puissance calorifique à évacuer au condenseur
Rép. :
3) q0m = 42.5 fg/h , q0 = 630 fg/m3 ,wth = 7.5 kcal/kg, qm = 941.2 kg/hwr = 10 kcal/kg, Pth = 7.058,8 kcal/h = 8.2 kWet Pr = 11 kWVa = 63.5 m3/h, Vb = 76.5 m3/h,nv = 0.83, COP Mollier = 5.66, COP Carnot = 6.57, efficacité = 0.854) Qc = 47.070 kcal/kg
mise en page P. Trau - février 1999

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